Cho $a,b,c>0 ;abc=1$ .Chứng minh
$\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\leq 1$
P/s:cách biến đổi tương đương mình làm được rồi ,mong các bạn cho mik cách giải khác ngắn hơn ,hay hơn
chứng minh $\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\leq 1$
Bắt đầu bởi tank06536, 14-07-2015 - 21:34
#2
Đã gửi 14-07-2015 - 21:42
Nguyen Minh Hai
-
- Thành viên
-
- 666 Bài viết
Thiếu úy
Cho $a,b,c>0 ;abc=1$ .Chứng minh
$\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\leq 1$
P/s:cách biến đổi tương đương mình làm được rồi ,mong các bạn cho mik cách giải khác ngắn hơn ,hay hơn
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\sum \left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{a+2} \right ) \geq \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{a+2} \geq 1$
Do $abc=1$ nên ta có thể đặt $(a,b,c)=\left ( \frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x} \right )$
Cần chứng minh: $\sum \frac{x}{x+2y} \geq 1$
Sử dụng $Cauchy-Schwarz$ ta có: $\sum \frac{x}{x+2y} \geq \frac{(x+y+z)^2}{\sum x^2+2xy}=1$
Chứng minh xong! Xảy ra đẳng thức khi $a=b=c=1$
- tank06536 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
