Cho $x,y,z$ là các số thực lớn hơn $1$ thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2$.
Chứng minh rằng : $\sqrt{\sum x} \geq \sum \sqrt{x-1}$
Chứng minh rằng : $\sqrt{\sum x} \geq \sum \sqrt{x-1}$
Bắt đầu bởi Quoc Tuan Qbdh, 15-07-2015 - 11:34
#2
Đã gửi 15-07-2015 - 11:38
Hoang Nhat Tuan
-
- Thành viên
-
- 974 Bài viết
Hỏa Long
Cho $x,y,z$ là các số thực lớn hơn $1$ thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2$.
Chứng minh rằng : $\sqrt{\sum x} \geq \sum \sqrt{x-1}$
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
$(\sum \sqrt{x-1})^2\leq (x+y+z)(\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z})=x+y+z$
Từ đó => ĐPCM
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
#3
Đã gửi 15-07-2015 - 11:41
Super Fields
-
- Thành viên
-
- 526 Bài viết
Thiếu úy
Cho $x,y,z$ là các số thực lớn hơn $1$ thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2$.
Chứng minh rằng : $\sqrt{\sum x} \geq \sum \sqrt{x-1}$
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\Leftrightarrow 3-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow \frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}= 1$$
Vì $x,y,z >1 $ nên các phân số trên đều dương,
$$1=\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}\geq \frac{\sum (\sqrt{x-1})^2}{\sum x}$$
$$\Leftrightarrow \sum x\geq \sum (\sqrt{x-1})^2$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{\sum x}\geq\sum \sqrt{x-1}$$
Dấu đẳng thức khi $x=y=z=1,5$
__________________
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 15-07-2015 - 11:43
- Bonjour yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
