3 replies to this topic

[Thao Huyen]

Dùng pqr, 

Cho $a,b,c\geqslant 0:ab+ac+bc+abc=4.CMR:\sum a\geqslant \sum ab$

[congdan9aqxk]

đổi biến:$(a;b;c)\rightarrow (\frac{2x}{y+z};\frac{2y}{x+z};\frac{2z}{x+y})$

Bài toán $\Leftrightarrow \sum \frac{x}{y+z}\geq \sum \frac{2xy}{(x+z)(y+z)}$

$\Leftrightarrow \sum x(x+y)(x+z)\geq \sum 2xy(x+y)\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq \sum xy(x+y)$

bất đẳng thức cuối cùng là schur

[Thao Huyen]

Lời giải bằng $pqr$ rất đơn giản cho: $p\geqslant 4\geqslant q$

Với $p<4$ thì dùng pqr quá đơn giản rùi :v

[Changg Changg]

Chú ý rằng $\sum \dfrac{x}{x+2}=1$ nên theo Cauchy-Schwarz: $\sum x(x+2)\sum \dfrac{x}{x+2}\geqslant (x+y+z)^2$ hay $x+y+z\geqslant xy+yz+zx$

Cần gì đến Schur nhỉ