Chủ đề này có 1 trả lời

[quan1234]

Với mọi số thực a,b,c thay đổi bất kì thỏa mãn: $\frac{1}{a^2+b^2+4}+\frac{1}{b^2+c^2+4}+\frac{1}{c^2+a^2+4}\geq \frac{2}{3}$

Chứng minh $ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quan1234: 24-07-2015 - 21:15

[Lee LOng]

Đặt $ab+bc+ac=q$

$*q\leq 0$ ......

$*q>0$.Ta có:

$x=a^{2}+b^{2};y=b^{2}+c^{2};z=c^{2}+a^{2}$

$\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+4}\geq \frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{\sum (x+4)(y+4)}{\prod (x+4)}\geq \frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow 16\geq 2xyz+5\sum xy+8\sum x$

Lại có: 

$2xyz+5\sum xy+8\sum x=2(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})+5\sum (a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})+16(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq \frac{(|a|+|b|)^{2}(|b|+|c|)^{2}(|c|+|a|)^{2}}{4}+5\sum (ab+bc)^{2}+16(ab+bc+ac)\geq \frac{16(|a|+|b|+|c|)^{2}(|ab|+|bc|+|ac|)^{2}}{81}+\frac{20}{3}(ab+bc+ac)^{2}+16(ab+bc+ac)\geq \frac{16q^{3}}{27}+\frac{20q^{2}}{3}+16q$

$\Rightarrow \frac{16q^{3}}{27}+\frac{20q^{2}}{3}+16q\leq 16$

$\Rightarrow Đpcm $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lee LOng: 25-07-2015 - 17:53