Chủ đề này có 2 trả lời

[kudoshinichihv99]

CMR tam giác ABC đều nếu:

$\sum \frac{cos\frac{A}{2}}{1+cosA}=\sqrt{3}$

[Anhtu99]

Hình như đây là đề thi của ĐH Bách Khoa.

[LzuTao]

CMR tam giác ABC đều nếu:

$\sum \frac{cos\frac{A}{2}}{1+cosA}=\sqrt{3}$

$$\frac{\cos\frac{A}{2}}{1+\cos A}+\frac{\cos\frac{B}{2}}{1+\cos B}+\frac{\cos\frac{C}{2}}{1+\cos C}=\sqrt{3}$$

Bạn xem lại đề thử vì: $1+\cos A=2\cos^2\frac{A}{2}$, tương tự với $\cos B, \cos C$. Từ đó áp dụng BĐT AM-GM:

$VT=\sum \frac{\cos\frac{A}{2}}{1+\cos A}=\frac{1}{2}\cdot \sum \frac{1}{\cos\frac{A}{2}}\geq \frac{1}{2}\cdot \frac{9}{\sum \cos\frac{A}{2}}\ge \sqrt3$

Ta chỉ cần chứng minh $\sum \cos\frac{A}{2}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $\cos\frac{A}{2}+\cos\frac{B}{2}=2\cos\frac{A+B}{4}\cos\frac{A-B}{4}\le 2\cos\frac{A+B}{4}$

$\cos\frac{C}{2}+\cos\frac{\pi}{6}=2\cos\left ( \frac{C}{4}+\frac{\pi}{12} \right )\cos\left ( \frac{C}{4}-\frac{\pi}{12} \right )\le 2\cos\left ( \frac{C}{4}+\frac{\pi}{12} \right )$

Suy ra $\sum \cos\frac{A}{2}+\cos\frac{\pi}{6}\le 2\left [ \cos\frac{A+B}{4}+ \cos\left ( \frac{C}{4}+\frac{\pi}{12} \right )\right ]=4\cos\left ( \frac{A+B+C}{8} +\frac{\pi}{24}\right )\cos\left ( \frac{A+B-C}{8} -\frac{\pi}{24}\right )\\ \le 4\cos\left ( \frac{A+B+C}{8} +\frac{\pi}{24}\right )=4\cos\frac{\pi}{6}$

hay $\sum \cos\frac{A}{2}\leq 3\cos\frac{\pi}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Dấu $=$ xảy ra $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\cos \frac{A}{2}}=\frac{1}{\cos \frac{B}{2}}=\frac{1}{\cos \frac{C}{2}}\\ \cos\frac{A-B}{4}=1\\ \cos\left ( \frac{C}{4}-\frac{\pi}{12} \right )=1\\\cos\left ( \frac{A+B-C}{8} -\frac{\pi}{24}\right ) =1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi}{3}$ hay $\triangle ABC$ đều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 05-08-2015 - 11:25