Chủ đề này có 4 trả lời

[congdan9aqxk]

Cho x;y;z >=0:x+y+z=1.

CM:$x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\leq \frac{4}{27}$

[25 minutes]

Cho x;y;z >=0:x+y+z=1.

CM:$x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\leq \frac{4}{27}$

Ta sẽ chứng minh $x^2y+y^2z+z^2x+xyz\leqslant \frac{4(x+y+z)^2}{27}$

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $y$ là số nằm giữa $x,z$

Khi đó $(x-y)(y-z)\geqslant 0\Rightarrow xy+yz\geqslant y^2+xz\Rightarrow xyz+yz^2\geqslant y^2z+z^2x$

$\Rightarrow 2xyz+yz^2+x^2y\geqslant y^2z+z^2x+x^2y+xyz$

$\Rightarrow y(x+z)^2\geqslant y^2z+z^2x+x^2y+xyz$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh $y(x+z)^2\leqslant \frac{4(x+y+z)^3}{27}$

BĐT luôn đúng theo AM-GM

        $y(x+z)^2=\frac{1}{2}.2y(x+z)(x+z)\leqslant \frac{1}{2}[\frac{2y+x+z+x+z}{3}]^3=\frac{4(x+y+z)^3}{27}$

Vậy ta có đcpm

[Hoang Nhat Tuan]

Giả sử y là số nằm giữa x và z, khi đó thì:

$x^2y+y^2z+z^2x\leq y(x^2+z^2+xz)\leq y(x+z)^2\leq \frac{4(x+y+z)^3}{27}=\frac{4}{27}$

[Silverbullet069]

Giả sử y là số nằm giữa x và z, khi đó thì:

$x^2y+y^2z+z^2x\leq y(x^2+z^2+xz)\leq$ $y(x+z)^2\leq \frac{4(x+y+z)^3}{27}$=$\frac{4}{27}$

Không hiểu đoạn này cho lắm ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 29-07-2015 - 10:44

[Hoang Nhat Tuan]

Không hiểu đoạn này cho lắm ?

Sao lại không hiểu bạn :

Ta có: $y(x^2+z^2+xz)\leq y(x^2+z^2+xz)+xyz=y(x+z)^2=\frac{2y(x+z)(x+z)}{2}\leq \frac{1}{2}.\frac{(2x+2y+2z)^3}{27}=\frac{4(x+y+z)^3}{27}$