Chủ đề này có 4 trả lời

[VoHungHuu]

Cho $x,y,z\in \mathbb{R}, x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ . Chứng minh rằng $2(x+y+z)-xyz\leq 10$

[Dinh Xuan Hung]

Cho $x,y,z\in \mathbb{R}, x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ . Chứng minh rằng $2(x+y+z)-xyz\leq 10$

Do vai trò của $x,y,z$ là như nhau nên ta có thể giả sử $x \leq y \leq z$

Ta xét các TH của $x$ như sau : 

TH1 : $x \geq 0$

       1,1 : $x>\frac{3}{4}$

       Do đó ta có $2(x+y+z)-xyz < 2\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}-(\frac{3}{4})^3\approx 9,98 <10$

       1,2 : $0 \leq x \leq \frac{3}{4}$

       Do đó ta có $2(x+y+z)-xyz \leq 2(x+y+z) \leq 2\left [ \sqrt{2(y^2+z^2)}+x \right ] < 2\left [ \sqrt{2.9}+\frac{3}{4} \right ]\approx 9,99 <10$

TH2 : $x <0$

       Đặt $f(x,y,z)=2(x+y+z)-xyz$

       Đễ dàng chứng minh được $f(x,y,z) \leq f(x,\sqrt{\frac{y^2+z^2}{2}},\sqrt{\frac{y^2+z^2}{2}})$

       Do đó ta chỉ cần chứng minh trong điều kiện $y=z$

       Bài toán trở thành : Cho $x^2+2y^2=9$. Tìm GTLN của $2(x+2y)-xy^2$ với $x <0$

       Đặt $-x=t>0\Rightarrow t^2+2y^2=9$, $\Rightarrow t=\sqrt{9-2y^2}$

       Ta sẽ chứng minh $f(x,y,z) \leq 10\Leftrightarrow 2(2y-\sqrt{9-2y^2})+\sqrt{9-2y^2}.y^2 \leq 10$

                                       $\Leftrightarrow (y^2-2)\sqrt{9-2y^2} \leq 10-4y$

      Bình phương 2 vế ta có đpcm

 Vậy ta luôn có $2(x+y+z)-xyz \leq 10$

Dấu = xảy ra khi $(x,y,z)=(-1;2;2)$ và các hoán vị của bộ số này 

[VoHungHuu]

Do vai trò của $x,y,z$ là như nhau nên ta có thể giả sử $x \leq y \leq z$

Ta xét các TH của $x$ như sau : 

TH1 : $x \geq 0$

       1,1 : $x>\frac{3}{4}$

       Do đó ta có $2(x+y+z)-xyz < 2\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}-(\frac{3}{4})^3\approx 9,98 <10$

       1,2 : $0 \leq x \leq \frac{3}{4}$

       Do đó ta có $2(x+y+z)-xyz \leq 2(x+y+z) \leq 2\left [ \sqrt{2(y^2+z^2)}+x \right ] < 2\left [ \sqrt{2.9}+\frac{3}{4} \right ]\approx 9,99 <10$

TH2 : $x <0$

       Đặt $f(x,y,z)=2(x+y+z)-xyz$

       Đễ dàng chứng minh được $f(x,y,z) \leq f(x,\sqrt{\frac{y^2+z^2}{2}},\sqrt{\frac{y^2+z^2}{2}})$

       Do đó ta chỉ cần chứng minh trong điều kiện $y=z$

       Bài toán trở thành : Cho $x^2+2y^2=9$. Tìm GTLN của $2(x+2y)-xy^2$ với $x <0$

       Đặt $-x=t>0\Rightarrow t^2+2y^2=9$, $\Rightarrow t=\sqrt{9-2y^2}$

       Ta sẽ chứng minh $f(x,y,z) \leq 10\Leftrightarrow 2(2y-\sqrt{9-2y^2})+\sqrt{9-2y^2}.y^2 \leq 10$

                                       $\Leftrightarrow (y^2-2)\sqrt{9-2y^2} \leq 10-4y$

      Bình phương 2 vế ta có đpcm

 Vậy ta luôn có $2(x+y+z)-xyz \leq 10$

Dấu = xảy ra khi $(x,y,z)=(-1;2;2)$ và các hoán vị của bộ số này 

Cho hỏi số $\frac{3}{4}$ là làm sao tìm được ra nó vậy. . Với lại tại sao ta chỉ cần chứng minh trong đk y=z,, chắc gì khi y=z thì f lớn nhất ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VoHungHuu: 29-07-2015 - 12:02

[Hoang Nhat Tuan]

Một cách khác ở đây: http://diendantoanho...2xyz-xyzleq-10/

[Changg Changg]

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geqslant y\geqslant z$

Nếu $x\leqslant 0$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng do $xyz\geqslant -3\sqrt{3}$

Nếu $x\geqslant 0\geqslant y\geqslant z$ thì $xyz\geqslant 0$ nên $2(x+y+z)-xyz\leqslant 2x\leqslant 6<10$

Nếu $x\geqslant y\geqslant 0\geqslant z$ thì $(x^2+y^2+z^2)(4+4+1)\geqslant (2x+2y-z)^2$ nên $2(x+y+z)\leqslant 9+3z$ và $xyz\geqslant \dfrac{9z-z^3}{2}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh: $3z+\dfrac{z^3-9z}{2}\leqslant 1$ hay $(z+1)^2(z-2)\leqslant 0$ luôn đúng.

Nếu $z\geqslant 0$ thì $(x^2+y^2+z^2)(4+4+1)\geqslant (2x+2y+z)^2$ nên $2(x+y+z)\leqslant 9+z$

$\bullet\;\;\; z\leqslant 1$, khi đó $9+z\leqslant 10\leqslant 10+xyz$

$\bullet\;\;\; z\geqslant 1$, khi đó $9+z\leqslant 9+xyz<10+xyz$

Vậy ta có điều phải chứng minh.