Chủ đề này có 5 trả lời

[nguocchieukimdongho]

Cho $a,b,c\in R$ và $a,b,c\neq 0$ thỏa mãn $b^{2}= ac$. CMR:
$\frac{a}{c}= \frac{\left ( a+2005b \right )^{2}}{\left ( b+2005c \right )^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguocchieukimdongho: 29-07-2015 - 21:53

[Silverbullet069]

Cho $a,b,c\in R$ và $a,b,c\neq 0$ thỏa mãn $b^{2}= ac$. CMR:

$\frac{a}{c}= \frac{\left ( a+2005b \right )^{2}}{\left ( b+2005c \right )^{2}}$

Đặt : $\frac{a}{c} = k$

$\Rightarrow a = ck$

$\Rightarrow b^{2} = c^{2}k$

$\Rightarrow b = c.\sqrt{k}$

Thay $a = ck , b^{2} = c^{2}k, b = c.\sqrt{k}$ vào biểu thức, ta có :

$\frac{\left ( a+2005b \right )^{2}}{\left ( b+2005c \right )^{2}} = \frac{a^{2} + 4010ab + 2005^{2}.b^{2}}{b^{2} + 4010bc + 2005^{2}.c^{2}} = \frac{c^{2}.k^{2} + 4010c^{2}k.\sqrt{k} + 2005^{2}.c^{2}k}{c^2.k + 4010c^{2}.\sqrt{k} + 2005^{2}.c^{2}} = \frac{k.(c^2.k + 4010c^{2}.\sqrt{k} + 2005^{2}.c^{2})}{c^2.k + 4010c^{2}.\sqrt{k} + 2005^{2}.c^{2}} = k = \frac{a}{c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 29-07-2015 - 16:37

[gianglqd]

Cho $a,b,c\in R$ và $a,b,c\neq 0$ thỏa mãn $b^{2}= ac$. CMR:

$\frac{a}{c}= \frac{\left ( a+2005b \right )^{2}}{\left ( b+2005c \right )^{2}}$

Bài này cứ biến đổi tương đương: nhân chéo, viết cái bình phương, thay $b^{2}=ac$ là ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gianglqd: 29-07-2015 - 16:44

[gianglqd]

Đặt : $\frac{a}{c} = k$

$\Rightarrow a = ck$

$\Rightarrow b^{2} = c^{2}k$

$\Rightarrow b = c.\sqrt{k}$

Thay $a = ck , b^{2} = c^{2}k, b = c.\sqrt{k}$ vào biểu thức, ta có :

$\frac{\left ( a+2005b \right )^{2}}{\left ( b+2005c \right )^{2}} = \frac{a^{2} + 4010ab + 2005^{2}.b^{2}}{b^{2} + 4010bc + 2005^{2}.c^{2}} = \frac{c^{2}.k^{2} + 4010c^{2}k.\sqrt{k} + 2005^{2}.c^{2}k}{c^2.k + 4010c^{2}.\sqrt{k} + 2005^{2}.c^{2}} = \frac{k.(c^2.k + 4010c^{2}.\sqrt{k} + 2005^{2}.c^{2})}{c^2.k + 4010c^{2}.\sqrt{k} + 2005^{2}.c^{2}} = k = \frac{a}{c}$

Không cần phức tạp như vậy đâu

[Silverbullet069]

Không cần phức tạp như vậy đâu

Dài nhưng dễ hiểu

[O0NgocDuy0O]

Dài nhưng dễ hiểu

 

Không cần phức tạp như vậy đâu

1 chút khéo léo:

Từ $b^{2}=ac\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}(1), \frac{a}{c}=(\frac{b}{c})^{2}(2)$.

$(1)\Rightarrow \frac{b}{c}=\frac{a}{b}=\frac{2005b}{2005c}=\frac{a+2005b}{b+2005c}\Rightarrow \frac{b^{2}}{c^{2}}=\frac{(a+2005b)^{2}}{(b+2005c)^{2}}$.

Kết hợp với $(2)$ có ĐPCM.