Chủ đề này có 1 trả lời

[Truong Gia Bao]

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=2$. Chứng minh bất đẳng thức:

$a^3+b^3+c^3+3abc\geq \frac{8max\left \{ a^2b^2;b^2c^2;c^2a^2 \right \}}{(a+b+c)^2}$

From: Cao Cương

[ThanhHieu1699]

Không mất tính tổng quat. Giả sư $a\geq b\geq c\geq 0$

Khi đó bài toán trơ thành: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc \geq \frac{8a^{2}b^{2}}{(a+b+c)^{2}}$

Áp dụng BĐT Schur: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\geq ab(a+b)$ Do  $c\geq 0$ Khi đó BĐT tương đương chứng minh: $ab(a+b)\geq \frac{8a^{2}b^{2}}{(a+b+c)^{2}}$

hay $(a+b)(a+b+c)^{2}\geq 8ab$ (*)

Do $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2 \Rightarrow (a+b+c)^{2}=2+2ab+2bc+2ca\geq 2+2ab$. Khi đó (*) tương đương

$(a+b)(2+2ab)\geq 8ab$ ( Luôn đúng dùng AM-GM)

Đẳng thức xay ra a=b=1,c=0 và hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThanhHieu1699: 29-07-2015 - 20:32