Chủ đề này có 7 trả lời

[sanghamhoc]

1.Cho $a,b,c$  là độ dài 3 cạnh tam giác

a. $P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< 2$

b.$\frac{1}{a+b},\frac{1}{b+c},\frac{1}{a+c}$ cũng là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

c. $a^{2}(b+c-a)+b^{2}(c+a-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc$

2. Cho a₁+a₂+...+a_n=K

CMR: a₁²+a₂²+...+a_n²$\geq \frac{K^{2}}{n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 30-07-2015 - 15:21

[Minhnguyenthe333]

1.Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác
a. $P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< 2$
2. Cho a₁+a₂+...+a_n=K
CMR: a₁²+a₂²+...+a_n²$\geq \frac{K^{2}}{n}$

1/
a.Ta có:$\frac{a}{b+c}<\frac{2a}{a+b+c}.$CMTT ta được $P<\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$
2.Ta có:$\sum_{k=1}^{n} a_{k}^2\geq \frac{(\sum a_{1})^2}{n}=\frac{K^2}{n}$ (BĐT Cauchy-Schwarz)
Dấu "=" xảy ra khi $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 30-07-2015 - 14:35

[sanghamhoc]

1/
a.Ta có:$\frac{a}{b+c}<\frac{2a}{a+b+c}.$CMTT ta được $P<\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$
2.Ta có:$\sum_{k=1}^{n} a_{k}^2\geq \frac({\sum a_{1})^2}{n}=\frac{K^2}{n}$ (BĐT Cauchy-Schwarz)
Dấu "=" xảy ra khi $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$

anh ơi ở bài 1, cái chỗ đầu tiên cm sao anh.Còn bài 2, e chưa học cái dấu đó với lại bdt Schwars, anh làm cách khác được không

[Silverbullet069]

b.$\frac{1}{a+b},\frac{1}{b+c},\frac{1}{a+c}$ cũng là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

Câu này phải C/m gì thế bạn ?

[sanghamhoc]

Câu này phải C/m gì thế bạn ?

C/m$\frac{1}{a+b},\frac{1}{b+c},\frac{1}{a+c}$ là 3 cạnh tam giác đó bạn, cho a,b,c la 3 cạnh tam giác rồi

[O0NgocDuy0O]

C/m$\frac{1}{a+b},\frac{1}{b+c},\frac{1}{a+c}$ là 3 cạnh tam giác đó bạn, cho a,b,c la 3 cạnh tam giác rồi

Với $a=3,b=4,c=5$ là thấy sai rồi. Mà $a+b>1$ nữa nên đề bài sai.

[O0NgocDuy0O]

anh ơi ở bài 1, cái chỗ đầu tiên cm sao anh.Còn bài 2, e chưa học cái dấu đó với lại bdt Schwars, anh làm cách khác được không

Bài $1$:

$a)$ Ta có bổ đề sau: Với $x,y\epsilon \mathbb{N}(y\neq 0)$ sao cho$x<y$ thì $\frac{x}{y}<\frac{x+a}{y+a}$. Để chứng minh quy đồng là ra.

$\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}=\frac{2a}{a+b+c}$. Tương tự, $\Rightarrow P<\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$.

$b)$ Sai đề.

Bài $2$:

Dùng qui nạp. Cho $n=1,2$ thấy đúng. G/s đúng với $n=t$, từ đó đi c/m với $n=t+1$ cũng đúng.

[Dinh Xuan Hung]

1.Cho $a,b,c$  là độ dài 3 cạnh tam giác

c. $a^{2}(b+c-a)+b^{2}(c+a-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc$

 

Chú ý rằng nếu $a\geq b$ thì $a(b+c-a)-b(c+a-b)=(b-a)(b+a-c)\leq 0$

Do đó nếu giả thiết (và không làm mất tính tổng quát)$a,b,c$ là dãy tăng thì $a(b+c-a),b(c+a-b),c(a+b-c)$ là dãy giảm.Do đó nếu áp dụng bất đẳng thức hoán vị cho hai dãy ngược chiều này và hoán vị $b,c,a$ của dãy thứ nhất thì ta có:

$a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq ba(b+c-a)+cb(c+a-b)+ac(a+b-c)(1)$

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức hoán vị cho hoán vị $c,a,$ ta được:

$a^2(b+c-a)+b^3(c+a-b)+c^3(a+b-c)\leq ca(b+c-a)+ab(c+a-b)+bc(a+b-c)(2)$

Cộng vế $(1)$ và $(2)$ ta được:

$2a^2(b+c-a)+2b^2(c+a-b)+2c^2(a+b-c)\leq 6abc\Leftrightarrow \sum a^2(b+c-a)\leq 3abc$