Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=3 và $0\leq a\leq b\leq c$.Tìm max của $P=\sqrt{abc}(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}-1)$
Tìm max của $P=\sqrt{abc}(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}-1)$
Bắt đầu bởi quan1234, 31-07-2015 - 15:58
#2
Đã gửi 02-08-2015 - 16:59
Frankesten
-
- Thành viên
-
- 60 Bài viết
Hạ sĩ
Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=3 và $0\leq a\leq b\leq c$.Tìm max của $P=\sqrt{abc}(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}Nhâ
Nhận thấy $P=\sqrt{abc}(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}-1) = a\sqrt{c}+b\sqrt{a}+c\sqrt{b}-\sqrt{abc}$
Do b là số ở giữa => $\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{c}-\sqrt{b}) \leq 0$ (1) <=> $P= a\sqrt{c}+b\sqrt{a}+c\sqrt{b}-\sqrt{abc} \leq \sqrt{b}(a+c)$ (cái này tách (1) ra ta được )
<=> $P \leq \sqrt{b}(a+c) = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2b(a+c)(a+c)} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{(2a+2b+2c)^3}{27}}=2$.
DTXR <=> a=c=b=1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Frankesten: 02-08-2015 - 17:01
Why So Serious ?
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
