2 replies to this topic

[Quoc Tuan Qbdh]

$1)$ Chứng minh rằng $3(x^{2}-x+1)(y^{2}-y+1) \geq 2(x^{2}y^{2}-xy+1)$
$2)$ Chứng minh rằng $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2) \geq 9(ab+bc+ca)$

 

 

[phamquanglam]

$2)$ Chứng minh rằng $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2) \geq 9(ab+bc+ca)$

Khai triển ra ta thu được: $a^{2}b^{2}c^{2}+2\sum a^{2}b^{2}+4\sum a^{2}+8\geq 9(ab+bc+ca)$

Ta thấy: $2\sum (a^{2}b^{2}+1)\geq 4(ab+bc+ca)$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$

Từ Schur: $\sum a(a-c)(a-b)\geq 0\Rightarrow \frac{9abc}{a+b+c}\geq 4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^{2}$

Nên: $a^{2}b^{2}c^{2}+1+1\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq \frac{9abc}{a+b+c}\geq 4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^{2}$

Cộng hết vào ta thu được:

$a^{2}b^{2}c^{2}+2+2\sum (a^{2}b^{2}+1)+4(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+bc+ca)+4(ab+bc+ca)+3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 9(ab+bc+ca)$

Hay: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 9(ab+bc+ca)$

[hoanglong2k]

$1)$ Chứng minh rằng $3(x^{2}-x+1)(y^{2}-y+1) \geq 2(x^{2}y^{2}-xy+1)$
$2)$ Chứng minh rằng $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2) \geq 9(ab+bc+ca)$

 1) Ta có BĐT $\Leftrightarrow x^2(y^2-3y+3)-x(3y^2-5y+3)+3y^2-3y+1$

   Xét $\Delta_x=(3y^2-5y+3)^2-4(y^2-3y+3)(3y^2-3y+1)=-3(y^2-3y+1)^2\leq 0$

   Lại có $y^2-3y+3> 0$

   Nên $3(x^{2}-x+1)(y^{2}-y+1) \geq 2(x^{2}y^{2}-xy+1)$ $\forall ~x,y\in \mathbb{R}$

 2) Áp dụng Cauchy-Schwarz :

   $9(ab+bc+ca)\leq 3(a+b+c)^2\leq 3(a^2+2)\left [ 1+\frac{(b+c)^2}{2} \right ]$

   Nên ta chỉ cần chứng minh $3\left [ 1+\frac{(b+c)^2}{2} \right ]\leq (b^2+2)(c^2+2)$

                                              $\Leftrightarrow 2(bc-1)^2+(b-c)^2\geq 0$ đúng