Chủ đề này có 1 trả lời

[Miu Jolie]

Bài 1 : 

Cho $x_1,x_2,x_3,...,x_{100}$ là các số nguyên dương sao cho : 

$\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}+\frac{1}{\sqrt{x_3}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_{100}}}=20$

Chứng minh rằng tồn tại $x_i=x_k$ với i # k và i,k thuộc {1,2,...,100}

Bài 2 : 

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c\geq abc$.Chứng minh rằng có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức sau đây là đúng:

$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{6}{c}\geq 6 ; \frac{2}{b}+\frac{3}{c}+\frac{6}{a}\geq6 ; \frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{6}{b}\geq6$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 02-08-2015 - 10:51

[Quoc Tuan Qbdh]

 

Bài 1 : 

Cho $x_1,x_2,x_3,...,x_{100}$ là các số nguyên dương sao cho : 

$\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}+\frac{1}{\sqrt{x_3}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_{100}}}=20$

Chứng minh rằng tồn tại $x_i=x_k$ với i # k và i,k thuộc {1,2,...,100}

 

 

Giả sử dãy số không tồn tại 2 số nào bằng nhau . Ta có 

$\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}+\frac{1}{\sqrt{x_3}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_{100}}}<1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}$

Áp dụng bất đẳng thức

Với $k \geq 2$ 

$\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}<\frac{2}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}} =2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$

$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}<1+2(\sqrt{100}-1)<20$

$-->$ phản tồn tại 2 số bằng nhau trong dãy       

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 02-08-2015 - 11:02