Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $3xyz\geq x+y+z$.
Tìm Min của biểu thức:$\frac{xy+yz+xz-1}{\sqrt{3x^{2}+1}+\sqrt{3y^{2}+1}+\sqrt{3z^{2}+1}}$
$\frac{xy+yz+xz}{\sqrt{3x^{2}+1}+\sqrt{3y^{2}+1}+\sqrt{3z^{2}+1}}$
Started By VODANH9X, 03-08-2015 - 12:35
#2
Posted 03-08-2015 - 14:38
Frankesten
-
- Thành viên
-
- 60 posts
Hạ sĩ
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $3xyz\geq x+y+z$.
Tìm Min của biểu thức:$\frac{xy+yz+xz-1}{\sqrt{3x^{2}+1}+\sqrt{3y^{2}+1}+\sqrt{3z^{2}+1}}$
Từ $3xyz \geq (x+y+z)$ => $(x+y+z)^2 \leq 3xyz(x+y+z) \leq (xy+yz+zx)^2$ <=> $x^2+y^2+z^2+1 \leq (xy+yz+zx-1)^2$ (*)
lại có : $P=\frac{xy+yz+xz-1}{\sqrt{3x^{2}+1}+\sqrt{3y^{2}+1}+\sqrt{3z^{2}+1}}$
=> $$P \geq \frac{xy+yz+zx-1}{3\sqrt{x^2+y^2+z^2+1}} \geq \frac{xy+yz+zx}{3\sqrt{(xy+yz+zx-1)^2}} = \frac{1}{3}$$ (Theo (*)) .
đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1
Edited by Frankesten, 03-08-2015 - 14:44.
Why So Serious ?
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
