Chủ đề này có 6 trả lời

[LzuTao]

CMR $\cot A+\cot2A+\cot4A=\sqrt7$ với $A=\frac{\pi}{7}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 07-08-2015 - 16:58

[LzuTao]

 

CMR $\cot A+\cot2A+\cot4A=\sqrt7$ với $A=\frac{\pi}{7}$

Đặt $y=\cos\varphi+i\sin\varphi, \qquad \varphi\in \left ( \frac{2\pi}{7}; \frac{4\pi}{7}; \cdots;\frac{12\pi}{7} ;2\pi \right )$

Theo $Moivre: \qquad y^7=1\Leftrightarrow \left ( y-1 \right )\left ( y^6+y^5+\cdots+1 \right )=0$

Trong đó $y=1$ tương ứng với $\varphi=2\pi$

Từ đó ta có: $y^6+y^5+\cdots+1=0, \qquad \varphi \in \left ( \frac{2\pi}{7}; \frac{4\pi}{7}; \cdots;\frac{12\pi}{7}\right )$

$\textrm{Chia hai vế cho }y^3\Rightarrow y^3+\frac1{y^3}+y^2+\frac1{y^2}+y+\frac1y+1=0\Leftrightarrow \left(y+\frac1y\right)^3-3\left(y+\frac1y\right)+\left(y+\frac1y\right)^2-2+\left(y+\frac1y\right)+1=0\Leftrightarrow z^3+z^2-2z-1=0 \qquad \color{Red}{(1)}, \qquad z=y+\frac1y=2\cos\varphi $

Phương trình $\color{Red}{(1)}$ có các nghiệm: $2\cos\frac{2\pi}7, 2\cos\frac{4\pi}7, 2\cos\frac{6\pi}7$

vì $\cos\frac{2\pi}{7}=\cos\frac{12\pi}{7}, \qquad \cos\frac{4\pi}{7}=\cos\frac{10\pi}{7}, \qquad \cos\frac{6\pi}{7}=\cos\frac{8\pi}{7}$

Đặt $\cot^2\frac{n\pi}{7}=w, \qquad n\in \left ( 1, 2, 3 \right )\\ \Rightarrow \cos\frac{2n\pi}{7}=\frac{1-\tan^2\frac{n\pi}{7}}{1+\tan^2\frac{n\pi}{7}}=\frac{\cot^2\frac{n\pi}{7}-1}{\cot^2\frac{n\pi}{7}+1}=\frac{w-1}{w+1}$

Thay vào $\color{Red}{(1)}$:

$\left (\frac{2\left (w-1  \right )}{w+1}  \right )^3+\left (\frac{2\left (w-1  \right )}{w+1}  \right )^2-2\left (\frac{2\left (w-1  \right )}{w+1}  \right )-1=0\\\Leftrightarrow 7 w^3-35 w^2+21 w-1=0$

Theo Vi-et: $w_1+w_2+w_3=-\frac{b}{a}=\frac{35}{7}=5, \qquad\mathrm{với} \qquad w=\cot^2\frac{n\pi}{7}$

$\Rightarrow \cot^2\frac{\pi}{7}+\cot^2\frac{2\pi}{7}+\cot^2\frac{3\pi}{7}=5\Leftrightarrow \cot^2\frac{\pi}{7}+\cot^2\frac{2\pi}{7}+\cot^2\frac{4\pi}{7}=5\\\Leftrightarrow \left (\cot\frac{\pi}{7}+\cot\frac{2\pi}{7}+\cot\frac{4\pi}{7}  \right )^2-2\left ( \cot\frac{\pi}{7}\cot\frac{2\pi}{7} + \cot\frac{2\pi}{7}\cot\frac{4\pi}{7}+\cot\frac{4\pi}{7}\cot\frac{\pi}{7}\right )=5$

Mà $\cot\frac{\pi}{7}\cot\frac{2\pi}{7} + \cot\frac{2\pi}{7}\cot\frac{4\pi}{7}+\cot\frac{4\pi}{7}\cot\frac{\pi}{7}=1$

Chứng minh: Với $A+B+C=\pi$ thì $\cot A=-\cot\left ( B+C \right )=\frac{1-\cot B\cot C}{\cot B+\cot C}\\\Leftrightarrow \cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1$

Vậy ta được đpcm.

 

Dùng phương pháp này cũng hơi mệt, nhưng được cái tính ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 06-08-2015 - 12:05

[LzuTao]

Ok. Giờ ta chuyển sang 1 cách mới có sử dụng phương pháp "ảo giác" của bạn @caybutbixanh, và riêng mình thấy phương pháp mà bạn ấy nghĩ ra rất đơn giản nhưng lại rất tuyệt

Đầu tiên, xét phương trình sau:

$$4x=-3x+k2\pi,\qquad {\color{Red}{(1)}}$$

Phương trình $(1)$ có các nghiệm $x\in \left \{ \frac{2\pi}{7}; \frac{4\pi}{7};\frac{8\pi}{7} \right \}$

Ta có: $$(1)\Leftrightarrow \cos4x=\cos(-3x)=\cos3x\\\Leftrightarrow 8y^3+4y^2-4y-1=0, \qquad y=\cos x,\qquad x\in \left \{ \frac{2\pi}{7}; \frac{4\pi}{7};\frac{8\pi}{7} \right \}$$

Đặt $w=\cot^2\frac{x}{2}$ (Chỗ này là trúng đích rồi )

Ta có: $y=\cos x=\frac{\cot^2\frac{x}{2}-1}{\cot^2\frac{x}{2}+1}=\frac{w-1}{w+1}$

Thế vào phương trình:

$$(1)\Leftrightarrow 8\left (\frac{w-1}{w+1}  \right )^3+4\left (\frac{w-1}{w+1}  \right )^2-4\left (\frac{w-1}{w+1}  \right )-1=0\\\Leftrightarrow 7w^3-35w^2+21w-1=0$$

Pt này có 3 nghiệm $\left\{\begin{matrix} w_1=\cot^2\frac{\pi}{7}\\w_2=\cot^2\frac{2\pi}{7} \\w_3=\cot^2\frac{4\pi}{7} \end{matrix}\right.$

Nhưng theo Viet: $w_1+w_2+w_3=-\frac{b}{a}=\frac{35}{7}=5$

Từ đó tiếp tục tính theo Bình Luận phía trên là xong.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 07-08-2015 - 17:00

[kudoshinichihv99]

Ok. Giờ ta chuyển sang 1 cách mới có sử dụng phương pháp "ảo giác" của bạn @caybutbixanh, và riêng mình thấy phương pháp mà bạn ấy nghĩ ra rất đơn giản nhưng lại rất tuyệt

Đầu tiên, xét phương trình sau:

$$4x=-3x+k2\pi,\qquad {\color{Red}{(1)}}$$

Phương trình $(1)$ có các nghiệm $x\in \left \{ \frac{2\pi}{7}; \frac{4\pi}{7};\frac{8\pi}{7} \right \}$

Ta có: $$(1)\Leftrightarrow \cos4x=\cos(-3x)=\cos3x\\\Leftrightarrow 8y^3+4y^2-4y-1=0, \qquad y=\cos x,\qquad x\in \left \{ \frac{2\pi}{7}; \frac{4\pi}{7};\frac{8\pi}{7} \right \}$$

Đặt $w=\cot^2\frac{x}{2}$ (Chỗ này là trúng đích rồi )

Ta có: $y=\cos x=\frac{\cot^2\frac{x}{2}-1}{\cot^2\frac{x}{2}+1}=\frac{w-1}{w+1}$

Thế vào phương trình:

$$(1)\Leftrightarrow 8\left (\frac{w-1}{w+1}  \right )^3+4\left (\frac{w-1}{w+1}  \right )^2-4\left (\frac{w-1}{w+1}  \right )-1=0\\\Leftrightarrow 7w^3-35w^2+21w-1=0$$

Pt này có 3 nghiệm $\left\{\begin{matrix} w_1=\cot^2\frac{\pi}{7}\\w_2=\cot^2\frac{2\pi}{7} \\w_3=\cot^2\frac{4\pi}{7} \end{matrix}\right.$

Nhưng theo Viet: $w_1+w_2+w_3=-\frac{b}{a}=\frac{35}{7}=5$

Từ đó tiếp tục tính theo Bình Luận phía trên là xong.

PP này rất hay mình xin đóng góp một VD để ứng dụng:

Tính tan⁶20⁰+tan⁶40⁰+tan⁶80⁰.

Mời mọi người  @LzuTao hay kiếm thêm một vài ứng dụng để mọi người cùng làm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kudoshinichihv99: 07-08-2015 - 18:56

[LzuTao]

PP này rất hay mình xin đóng góp một VD để ứng dụng:

Tính tan⁶20⁰+tan⁶40⁰+tan⁶80⁰.

Mời mọi người  @LzuTao hay kiếm thêm một vài ứng dụng để mọi người cùng làm

Bạn kiếm đâu ra ví dụ thế ?

Ta có: $$\tan^620^{\circ}+\tan^640^{\circ}+\tan^680^{\circ}=\tan^6\frac{\pi}{9}+\tan^6\frac{2\pi}{9}+\tan^6\frac{4\pi}{9}$$

Ta sẽ dùng phương pháp 'ảo giác' như trên, chú ý $9=6+3$ để dễ phân tích. Ta có:

$$6x=-3x+k2\pi\qquad\color{Red}{(1)}$$

Phương trình $(1)$ có các nghiệm $x\in\left \{ \frac{2\pi}{9};\frac{4\pi}{9}; \frac{8\pi}{9}\right \}$

Ta có: $$(1)\Leftrightarrow \cos6x=\cos3x\Leftrightarrow 2\cos^23x-1=\cos3x\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\cos3x=1\\\cos3x=-\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \cos3x=-\frac{1}{2} \qquad \mathrm{vì}\ \ x\in\left \{ \frac{2\pi}{9};\frac{4\pi}{9}; \frac{8\pi}{9}\right \}\\\Leftrightarrow 4\cos^3x-3\cos x+\frac{1}{2}=0\qquad\color{Red}{(2)}$$

Đặt $w=\tan^2\frac{x}{2}\Rightarrow \cos x=\frac{1-w}{1+w}$

Thế vào phương trình:

$$(2)\Leftrightarrow 4\left (\frac{1-w}{1+w}  \right )^3-3\left (\frac{1-w}{1+w}  \right )+\frac{1}{2}=0\\\Leftrightarrow w^3-33w^2+27w-3=0$$

Phương trình này có 3 nghiệm: $\left\{\begin{matrix} w_1=\tan^2\frac{\pi}{9}\\w_2=\tan^2\frac{2\pi}{9} \\w_3=\tan^2\frac{4\pi}{9} \end{matrix}\right.$

Và theo Viete: $\sum w_1=33,\qquad\sum w_1w_2=27,\qquad \prod w_1=3$

Từ đó ta tính được tổng cần tìm, chú ý công thức:

$$x_1^3+x_2^3+x_3^3=\left ( x_1+x_2+x_3 \right )^3-3\left ( x_1+x_2+x_3 \right )\left ( x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1 \right )+3x_1x_2x_3$$

Thay $x=\tan^2\frac{x}{2}$, ta được:

$\tan^6\frac{\pi}{9}+\tan^6\frac{2\pi}{9}+\tan^6\frac{4\pi}{9}=\left (\sum w_1 \right )^3-3\sum w_1\sum w_1w_2+3\prod w_1=33^3-3\cdot33\cdot27+3\cdot3=33273$

$\blacksquare$

Bạn nào có ví dụ góp thêm nhé !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 07-08-2015 - 20:47

[kudoshinichihv99]

 

Bạn kiếm đâu ra ví dụ thế ?

Ta có: $$\tan^620^{\circ}+\tan^640^{\circ}+\tan^680^{\circ}=\tan^6\frac{\pi}{9}+\tan^6\frac{2\pi}{9}+\tan^6\frac{4\pi}{9}$$

Ta sẽ dùng phương pháp 'ảo giác' như trên, chú ý $9=6+3$ để dễ phân tích. Ta có:

$$6x=-3x+k2\pi\qquad\color{Red}{(1)}$$

Phương trình $(1)$ có các nghiệm $x\in\left \{ \frac{2\pi}{9};\frac{4\pi}{9}; \frac{8\pi}{9}\right \}$

Ta có: $$(1)\Leftrightarrow \cos6x=\cos3x\Leftrightarrow 2\cos^23x-1=\cos3x\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\cos3x=1\\\cos3x=-\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \cos3x=-\frac{1}{2} \qquad \mathrm{vì}\ \ x\in\left \{ \frac{2\pi}{9};\frac{4\pi}{9}; \frac{8\pi}{9}\right \}\\\Leftrightarrow 4\cos^3x-3\cos x+\frac{1}{2}=0\qquad\color{Red}{(2)}$$

Đặt $w=\tan^2\frac{x}{2}\Rightarrow \cos x=\frac{1-w}{1+w}$

Thế vào phương trình:

$$(2)\Leftrightarrow 4\left (\frac{1-w}{1+w}  \right )^3-3\left (\frac{1-w}{1+w}  \right )+\frac{1}{2}=0\\\Leftrightarrow w^3-33w^2+27w-3=0$$

Phương trình này có 3 nghiệm: $\left\{\begin{matrix} w_1=\tan^2\frac{\pi}{9}\\w_2=\tan^2\frac{2\pi}{9} \\w_3=\tan^2\frac{4\pi}{9} \end{matrix}\right.$

Và theo Viete: $\sum w_1=33,\qquad\sum w_1w_2=27,\qquad \prod w_1=3$

Từ đó ta tính được tổng cần tìm, chú ý công thức:

$$x_1^3+x_2^3+x_3^3=\left ( x_1+x_2+x_3 \right )^3-3\left ( x_1+x_2+x_3 \right )\left ( x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1 \right )+3x_1x_2x_3$$

Thay $x=\tan^2\frac{x}{2}$, ta được:

$\tan^6\frac{\pi}{9}+\tan^6\frac{2\pi}{9}+\tan^6\frac{4\pi}{9}=\left (\sum w_1 \right )^3-3\sum w_1\sum w_1w_2+3\prod w_1=33^3-3\cdot33\cdot27+3\cdot3=33273$

$\blacksquare$

Bạn nào có ví dụ góp thêm nhé !

 

Có 1 cách khác (vừa ms nghĩ ra)

Nhận xét

$tan60=\frac{3tan20-tan^320}{1-3tan^220}$

$tan240=\frac{3tan80-tan^380}{1-3tan^280}$

$tan420=\frac{3tan140-tan^3140}{1-3tan^2140}$

Mà $tan60=tan240=tan420=\sqrt{3}$

=> tan20,tan80,tan140 là 3 nghiệm của pt

$x^3-3\sqrt{3}x^2-3x+\sqrt{3}=0$

Áp dụng định li viet là xong (lươ ý tan140=-tan40 nhưng do bặc của đa thức cần tính là 6 nên ko ảnh hưởng)

[LzuTao]

Có 1 cách khác (vừa ms nghĩ ra)

Nhận xét

$tan60=\frac{3tan20-tan^320}{1-3tan^220}$

$tan240=\frac{3tan80-tan^380}{1-3tan^280}$

$tan420=\frac{3tan140-tan^3140}{1-3tan^2140}$

Mà $tan60=tan240=tan420=\sqrt{3}$

=> tan20,tan80,tan140 là 3 nghiệm của pt

$x^3-3\sqrt{3}x^2-3x+\sqrt{3}=0$

Áp dụng định li viet là xong (lươ ý tan140=-tan40 nhưng do bặc của đa thức cần tính là 6 nên ko ảnh hưởng)

Cách giải của bạn khá hay, nhưng có 1 vài điểm cần lưu ý:

• Phương trình $x^3-3\sqrt{3}x^2-3x+\sqrt{3}=0$ có 3 nghiệm $\tan 20, -\tan40, \tan 80$ nhưng bậc của đa thức cần tính là 6, do vậy ta phải khai triển đa thức đó ra tổng hoặc tích của các nghiệm 1 cách khá dài. Khá mệt    
• Phương pháp này sẽ có tác dụng trong 1 số trường hợp nhất định. Nhưng mình nghĩ nó không thể nào tính được tổng $\cot^2\frac{\pi}{7}+\cot^2\frac{2\pi}{7}+\cot^2\frac{3\pi}{7}$

Xin cảm ơn bạn @kudoshinichihv99 đã đóng góp ý kiến

P/s: Có bạn nào tìm được lời giải tổng quát hoặc ngắn gọn hơn thì post nhớ