Chủ đề này có 6 trả lời

[nguyennamphu1810]

Cho a, b, c >0. $CMR:\sqrt[3]{abc}+\frac{\left | a-b \right |+\left | b-c \right |+\left | c-a \right |}{3}\geq \frac{a+b+c}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 10-08-2015 - 15:50

[Silverbullet069]

Cho a, b, c >0. $CMR:\sqrt[3]{abc}+\frac{\left | a-b \right |+\left | b-c \right | + \left | c-a \right |}{3}\geq \frac{a+b+c}{3}$

Già sử : $\sqrt[3]{abc}+\frac{\left | a-b \right |+\left | b-c \right | + \left | c-a \right |}{3}\geq \frac{a+b+c}{3}$

$\Rightarrow \frac{\left | a-b \right |+\left | b-c \right | + \left | c-a \right |}{3}\geq \frac{a+b+c}{3} - \sqrt[3]{abc}$

Có : $\sqrt[3]{abc} \leq \frac{a+b+c}{3}$ (BĐT AM-GM)

$\Rightarrow -\sqrt[3]{abc} \geq \frac{-(a+b+c)}{3}$

$\Rightarrow \frac{\left | a-b \right |+\left | b-c \right | + \left | c-a \right |}{3}\geq \frac{a+b+c - a - b - c}{3} = 0$ (luôn đúng)

$\Rightarrow$ BĐT trên luôn đúng.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

P/s : chẳng biết có đúng không nữa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 10-08-2015 - 14:13

[Quoc Tuan Qbdh]

Già sử : $\sqrt[3]{abc}+\frac{\left | a-b \right |+\left | b-c \right | + \left | c-a \right |}{3}\geq \frac{a+b+c}{3}$

$\Rightarrow \frac{\left | a-b \right |+\left | b-c \right | + \left | c-a \right |}{3}\geq \frac{a+b+c}{3} - \sqrt[3]{abc}$

Có : $\sqrt[3]{abc} \leq \frac{a+b+c}{3}$ (BĐT AM-GM)

$\Rightarrow -\sqrt[3]{abc} \geq \frac{-(a+b+c)}{3}$

$\Rightarrow \frac{\left | a-b \right |+\left | b-c \right | + \left | c-a \right |}{3}\geq \frac{a+b+c - a - b - c}{3} = 0$ (luôn đúng)

$\Rightarrow$ BĐT trên luôn đúng.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

P/s : chẳng biết có đúng không nữa

Theo mình thì bạn làm thế không khác nào xem ( điều phải chứng minh là đúng ) rồi bắc cầu thêm bước tiếp theo để ra cái BĐT ( luôn đúng ) kia

[Silverbullet069]

Theo mình thì bạn làm thế không khác nào xem ( điều phải chứng minh là đúng ) rồi bắc cầu thêm bước tiếp theo để ra cái BĐT ( luôn đúng ) kia

Hic, mới đầu cũng nghĩ thế nên không chắc là đúng hay không nữa?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 10-08-2015 - 14:37

[gianglqd]

Già sử : $\sqrt[3]{abc}+\frac{\left | a-b \right |+\left | b-c \right | + \left | c-a \right |}{3}\geq \frac{a+b+c}{3}$

$\Rightarrow \frac{\left | a-b \right |+\left | b-c \right | + \left | c-a \right |}{3}\geq \frac{a+b+c}{3} - \sqrt[3]{abc}$

Có : $\sqrt[3]{abc} \leq \frac{a+b+c}{3}$ (BĐT AM-GM)

$\Rightarrow -\sqrt[3]{abc} \geq \frac{-(a+b+c)}{3}$

$\Rightarrow \frac{\left | a-b \right |+\left | b-c \right | + \left | c-a \right |}{3}\geq \frac{a+b+c - a - b - c}{3} = 0$ (luôn đúng)

$\Rightarrow$ BĐT trên luôn đúng.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

P/s : chẳng biết có đúng không nữa

Cả 2 vế BĐT đều lớn hơn 0

Nhầm rồi bạn ơi

[dogsteven]

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$. Đặt $a=a^3, b=b^3, c=c^3$, ta cần chứng minh:

$$6c^2(a-c)+3c[(a+b-2c)(a-b)+(a-c)(b-c)]+(a-b)[(a-c)^2+(b-c)^2+(a-c)(b-c)]\geqslant 0$$

Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc $a=b, c=0$ và các hoán vị.

[hoctrocuaZel]

Cho a, b, c >0. $CMR:\sqrt[3]{abc}+\frac{\left | a-b \right |+\left | b-c \right |+\left | c-a \right |}{3}\geq \frac{a+b+c}{3}$

$a\geqslant b\geqslant c\Rightarrow \sqrt[3]{abc}+\frac{2(a-c)}{3}-\frac{a+b+c}{3}=\sqrt[3]{abc}+\frac{a-b-3c}{3}=\frac{a-b}{3}+\sqrt[3]{c}(\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{c^2})\geqslant 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 14-08-2015 - 17:28