Chủ đề này có 5 trả lời

[thuynguyenthu]

Cho $a,b,c$ là các số dương thoả mãn : $abc=1$.CMR $\sqrt{8.a^{2}+1}+\sqrt{8.b^{2}+1}+\sqrt{8.c^{2}+1}\leq 3\left ( a+b+c \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Truong Gia Bao: 11-08-2015 - 16:09

[Truong Gia Bao]

Cho $a,b,c$ là các số dương thoả mãn : $abc=1$.CMR $\sqrt{8.a^{2}+1}+\sqrt{8.b^{2}+1}+\sqrt{8.c^{2}+1}\leq 3\left ( a+b+c \right )$

Không mất tính tổng quát, giả sử $c=$ min $\left \{ a,b,c \right \}$. Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có:

$\sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}\leq \sqrt{(a+b)\left ( \frac{8a^2+1}{a}+\frac{8a^2+1}{b} \right )}=(a+b)\sqrt{c+8}$

Do đó, để chứng minh BĐT đã cho ta cần chứng minh được:

$(3-\sqrt{c+8})(a+b)+3c-\sqrt{8c^2+1}\geq 0$

Từ giả thiết của c, ta có $c\leq \sqrt[3]{abc}=1$, suy ra $3 - \sqrt{c+8} \geq 0$.

Mà theo BĐT AM-GM thì: $a+b \geq 2\sqrt{ab}=\frac{2}{\sqrt{c}}$

Vì thế, ta chỉ cần chứng minh:

$\frac{2(3-\sqrt{c+8})}{\sqrt{c}}+3c-\sqrt{8c^2+1}\geq 0\Leftrightarrow \frac{6}{\sqrt{c}}+3c\geq 2\sqrt{c+8}+\sqrt{8c^2+1}$

Đến đây đơn giản rồi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Truong Gia Bao: 11-08-2015 - 16:30

[quangnghia]

Cho $a,b,c$ là các số dương thoả mãn : $abc=1$.CMR $\sqrt{8.a^{2}+1}+\sqrt{8.b^{2}+1}+\sqrt{8.c^{2}+1}\leq 3\left ( a+b+c \right )$

Bất đẳng thức trở thành:

$\sqrt{8a^{2}+1}-3a\leq 0$

$\sum \frac{1-a^{2}}{\sqrt{8a^{2}+1}+3a}\leq0$

Giả sữ $a\geq b\geq c$ thì 

$1-a^{2}\leq 1-b^{2}\leq 1-c^{2}$ và $\frac{1}{\sqrt{8a^{2}+1}+3a}\leq \frac{1}{\sqrt{8b^{2}+1}+3b}\leq \frac{1}{\sqrt{8c^{2}+1}+3c}$

Áp dụng bất đẳng thức chebyshev cho 2 dãy:

Ta có $3((1-a^{2}).\frac{1}{\sqrt{8a^{2}+1}+3a}+(1-b^{2}).\frac{1}{\sqrt{8b^{2}+1}+3b}+(1-c^{2}).\frac{1}{\sqrt{8c^{2}+1}+3c})$

$\leq (3-a^{2}-b^{2}-c^{2})(\sum \frac{1}{\sqrt{8a^{2}+1}+3})\leq (3-3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}})(\sum \frac{1}{\sqrt{8a^{2}+1}+3})\leq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangnghia: 11-08-2015 - 19:07

[bnprovip]

Bất đẳng thức trở thành:

$\sqrt{8a^{2}+1}-3a\leq 0$

$\sum \frac{1-a^{2}}{\sqrt{8a^{2}+1}+3a}\leq0$

Giả sữ $a\geq b\geq c$ thì 

$1-a^{2}\leq 1-b^{2}\leq 1-c^{2}$ và $\frac{1}{\sqrt{8a^{2}+1}+3a}\leq \frac{1}{\sqrt{8b^{2}+1}+3b}\leq \frac{1}{\sqrt{8c^{2}+1}+3c}$

Áp dụng bất đẳng thức chebyshev cho 2 dãy:

Ta có $3((1-a^{2}).\frac{1}{\sqrt{8a^{2}+1}+3a}+(1-b^{2}).\frac{1}{\sqrt{8b^{2}+1}+3b}+(1-c^{2}).\frac{1}{\sqrt{8c^{2}+1}+3c})$

$\leq (3-a^{2}-b^{2}-c^{2})(\sum \frac{1}{\sqrt{8a^{2}+1}+3})\leq (3-3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}})(\sum \frac{1}{\sqrt{8a^{2}+1}+3})\leq 0$

Bạn sử dụng chebyshev ngược dấu thì phải

[Dinh Xuan Hung]

Bạn sử dụng chebyshev ngược dấu thì phải

BĐT thức đấy đúng rồi bạn ạ đó là là hai dãy ngược chiều nhau nên khi sử dụng sẽ có dấu đấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 12-08-2015 - 12:18

[bnprovip]

BĐT thức đấy đúng rồi bạn ạ đó là là hai dãy ngược chiều nhau nên khi sử dụng sẽ có dấu 

nhưng trên là 2 dãy cùng chiều mà

 

Dinh Xuan Hung Ừ đúng rồi bài kia làm ngược dấu rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 12-08-2015 - 19:21