Chủ đề này có 1 trả lời

[Supermath98]

Cho các số dương $a;b;c$ thỏa mãn $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}= \frac{1}{2c^{2}}$.

TÌm GTNN của biểu thức 

$P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

[Dinh Xuan Hung]

Cho các số dương $a;b;c$ thỏa mãn $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}= \frac{1}{2c^{2}}$.

TÌm GTNN của biểu thức 

$P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

Lời giải

Ta có $P=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}+1}+\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}+1}+\frac{1}{\sqrt{\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}+1}}$

Đặt $x=\frac{a}{c};y=\frac{b}{c}$ bài toán trở thành

Cho $x,y>0$ thỏa mãn $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{2}$. Tìm Min của $P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+1}}$

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz có

$\frac{1}{2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{\begin{pmatrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \end{pmatrix}^2}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq 1\Leftrightarrow x+y\leq xy$

$\Rightarrow x^2+y^2+1\leq (x+y-1)^2$

Lại có $\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}\geq \frac{(x+y)^2}{x+y+2xy}\geq \frac{(x+y)^2}{x+y+\frac{(x+y)^2}{2}}=\frac{2(x+y)}{x+y+2}$

$\Rightarrow P\geq \frac{2(x+y)}{x+y+2}+\frac{1}{x+y-1}$

Đặt $t=x+y$. Theo BĐT $AM-GM$ ta có $1\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{t}\Leftrightarrow t\geq 4$

$P\geq \frac{2t}{t+2}+\frac{1}{t-1}=f(t)$

Khảo sát hàm $f(t)$ trên $[4;+\infty ]$

Ta có $f'(t)=\frac{3t(t-4)}{(t+2)^2(t-1)^2}\geq 0$ trên $[4;+\infty ]$

$\Rightarrow$ $f(t)$ đồng biến trên $[4;+\infty ]$

$\Rightarrow f(t)\geq f(4)=\frac{5}{3}$

Vậy Min $P=\frac{5}{3}$ $\Leftrightarrow x=y=2\Leftrightarrow a=b=2c$