Chủ đề này có 2 trả lời

[Minhnguyenthe333]

Tìm đa thức $f(x)$ bậc 4 thỏa mãn điều kiện:

$\left\{\begin{matrix} f(-1)=0\\ f(x)-f(x-1)=x(x+1)(2x+1)\end{matrix}\right.$ $(x\in \mathbb{R})$

[Silverbullet069]

Tìm đa thức $f(x)$ bậc 4 thỏa mãn điều kiện:

$\left\{\begin{matrix} f(-1)=0\\ f(x)-f(x-1)=x(x+1)(2x+1)\end{matrix}\right.$ $(x\in \mathbb{R})$

Lời giải từ d.violet.vn

Cho x = 0 $\Rightarrow f(0) - f(-1) = 0$ mà $f(-1) = 0 \Rightarrow f(0) = 0$
Thử lần lượt x với các giá trị $x = -2 ; x = 1 ; x = 2$, ta có :
$f(-2) = 0 ; f(1) = 6 ; f(2) = 36$
Đặt $f(x) = e + d(x + 2) + c(x+2)(x+1) + b(x+2)(x+1)x + a(x+2)(x+1)x(x-1)$
Cho $x = -2 \Rightarrow f(-2) = e \Rightarrow e = 0$
Cho $x = -1 \Rightarrow d = 0$
Cho $x = 0 \Rightarrow c = 0$
Vậy $f(x) = b(x+2)(x+1)x + a(x+2)(x+1)x(x-1)$
Cho $x = 1 \Rightarrow f(-1) = 6b = 6 \Rightarrow b = 1$
Cho $x = 2 \Rightarrow f(2) = 24 + 24a = 36 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$
Vậy $f(x) = \frac{1}{2}x(x+1)^2(x+2)$

[kimchitwinkle]

Giả sửa đa thức cần tìm có dạng : $f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\left ( a\neq 0 \right )$

Ta xét : $f(-1)=a-b+c-d+e=0$

$f(x)-f(x-1)=4ax^{3}+(3b-6a)x^{2}+(4a-3b+2c)x-a+b-c+d=2x^{3}+3x^{2}+x$

Đồng nhất hệ số ta có:

$\left\{\begin{matrix} 4a=2 & & \\ 3b-6a=3& & \\ 4a-3b+2c=1 & & \\ -a+b-c+d=0 & & \\ a-b+c-d+e=0 & & \end{matrix}\right.$

Giải ra và tìm được :

 $\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{2} & & \\ b=2 & & \\ c=\frac{5}{2} & & \\ d=1 & & \\ e=0 & & \end{matrix}\right.$

Vậy đa thức cần tìm là $\frac{1}{2}x^{4}+2x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}+x$