8 replies to this topic

[nloan2k1]

Cho $n\epsilon \mathbb{N}$ chứng minh rằng, với mọi n ta luôn có đẳng thức: $\sqrt{0^{3}+1^{3}+2^{3}+...+n^{3}}=0+1+2+3+...+n$

 

[Minhnguyenthe333]

Cho $n\epsilon \mathbb{N}$ chứng minh rằng, với mọi n ta luôn có đẳng thức: $\sqrt{0^{3}+1^{3}+2^{3}+...+n^{3}}=0+1+2+3+...+n$

$\Leftrightarrow \sum_{k=1}^n k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$
Đến đây dùng pp qui nạp để chứng minh

Edited by Minhnguyenthe333, 18-08-2015 - 20:54.

[rainbow99]

Cho $n\epsilon \mathbb{N}$ chứng minh rằng, với mọi n ta luôn có đẳng thức: $\sqrt{0^{3}+1^{3}+2^{3}+...+n^{3}}=0+1+2+3+...+n$

 Cách của BlackSelena

 

Viết lại bài toán cần chứng minh

 

$1^3+2^3+3^3 + .. n^3 = (1+2+3+... + n)^2$
Với $n=1; n=2$ thì đẳng thức hiển nhiên đúng, hay chính là câu a,b đó 
Giả sử đẳng thức đúng với $n=k$
Tức $1^3+2^3 + 3^3 + ... k^3 = (1+2 + 3 +4 .. + k)^2$
Ta sẽ chứng minh nó đúng với $n=k+1$
Viết lại đẳng thức cần chứng minh $1^3+2^3+3^3+...k^3 + (k+1)^3 = (1+2 + 3 +4 .. + k + k+1)^2$ (*)
Mặt khác ta có công thức tính tổng sau $1+2+3+4+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$
$\Rightarrow (1+2+3+4+...+n)^2 = \frac{(n^2+n)^2}{4}$
Vậy viết lại đẳng thức cần chứng minh
$\frac{(k^2+k)^2}{4} + (k+1)^3 = \frac{(k^2+3k+2)^2}{4}$
$\Leftrightarrow (k^2+3k+2)^2 - (k^2+k)^2 = 4(k+1)^3$
Bằng biện pháp "nhân tung tóe", đẳng thức cần chứng minh tuơng đuơng
$\Leftrightarrow 4k^3 +12k^2 + 12k + 4 = 4(k+1)^3$
$\Leftrightarrow 4(k+1)^3 = 4(k+1)^3$ ~ Đẳng thức này đúng.
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.
_______
Thảm khảo thêm ở đây

Edited by rainbow99, 18-08-2015 - 20:56.

[bvptdhv]

Cho $n\epsilon \mathbb{N}$ chứng minh rằng, với mọi n ta luôn có đẳng thức: $\sqrt{0^{3}+1^{3}+2^{3}+...+n^{3}}=0+1+2+3+...+n$

Ta có $\sum_{n=1}^{k}n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} =>\sqrt{\sum_{n=1}^{k}n^{3}}=\sqrt{\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}}=\frac{n(n+1)}{2}=\sum_{n=1}^{k}n (đpcm)$

[arsfanfc]

Ta có $\sum_{n=1}^{k}n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} =>\sqrt{\sum_{n=1}^{k}n^{3}}=\sqrt{\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}}=\frac{n(n+1)}{2}=\sum_{n=1}^{k}n (đpcm)$

bạn làm từ $GT=>\sum_{n=1}^{k}n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$

rồi từ $\sum_{n=1}^{k}n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}=> GT$

Hài         

Edited by arsfanfc, 18-08-2015 - 21:08.

[bvptdhv]

bạn làm từ $GT=>\sum_{n=1}^{k}n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$

rồi từ $\sum_{n=1}^{k}n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}=> GT$

Hài         

$\sum_{n=1}^{k}n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$ tính tổng các lập phương có công thức đó mà bạn

[arsfanfc]

$\sum_{n=1}^{k}n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$ tính tổng các lập phương có công thức đó mà bạn

cái đích của bài toán này là cần chứng minh công thức mà bạn nêu ra đó 

[bvptdhv]

cái đích của bài toán này là cần chứng minh công thức mà bạn nêu ra đó 

Công thức tính tổng các lập phương của các số liên tiếp và công thức tính tổng dãy số liên tiếp thớt có thể chứng minh bằng dạng tổng quát hoặc đơn giản hơn là dùng quy nạp, từ đó suy ra đpcm

Bạn chưa chứng minh được công thức tính tổng các lập phương thì có thể hỏi, hoặc nếu chứng minh ra rồi thì đừng giả vờ vu vơ, không cần phải luôn cho rằng mình đúng, người khác sai để rồi nói tôi "Hài", xin lỗi mình không vui tí nào cả

Edited by bvptdhv, 19-08-2015 - 13:44.

[I Love MC]

Sử dụng công thức Faulhaber : 
$\sum_{n=1}^n n^2=(\frac{n^2+n}{2})^2$ 
Tham khảo thêm https://vi.wikipedia..._thức_Faulhaber