Chủ đề này có 1 trả lời

[chieckhantiennu]

Chứng minh bằng phản chứng rằng: Với $n>1$ và những số tự nhiên khác nhau $a_{1}, a_{2},, ... a_{n}$. Khi đó không thể có đẳng thức $\frac{1}{a^{2}_1} + \frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_n^2}=1$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 19-08-2015 - 16:12
Gõ Tiếng Việt

[Dinh Xuan Hung]

Chứng minh bằng phản chứng rằng: Với $n>1$ và những số tự nhiên khác nhau $a_{1}, a_{2},, ... a_{n}$. Khi đó không thể có đẳng thức $\frac{1}{a^{2}_1} + \frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_n^2}=1$ 

Giả sử có đẳng thức:$\frac{1}{a^{2}_1} + \frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_n^2}=1$

 

Vì $a_1;a_2;...;a_n\in N*$ nên $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a_1^2\geq 2 & & & & \\ a_2^2\geq 3 & & & & \\ ... & & & & \\ a_n^2\geq (n+1)^2 & & & & \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow 1=\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_n^2}\leq \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{(n+1)^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}(1)$

 

Mặt khác:$\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}< 1(2)$

 

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có:$1<1$(Vô lý)

$\Rightarrow \mathit{ĐPCM}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 19-08-2015 - 16:23