Chủ đề này có 10 trả lời

[Dung Du Duong]

Lâu lâu mới ngó vô bài hình này, mình có mở rộng chút xíu:  

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), lấy M thuộc cung nhỏ BC, lấy A', B', C' lần lượt đối xứng với M qua BC, AC, AB. Tiếp tục lấy các đường thẳng x,y,z lần lượt đối xứng với A'B', B'C', C'A' qua AB, AC, BC. CMR: x,y,z đồng quy tại 1 điểm nằm trên (O)   

[30 minutes]

Theo em bài này: Bước 1 là áp dụng bổ đề về đường thẳng Steiner  để chứng minh 3 điểm thẳng hàng A',B',C'

                             Bước 2 là Chứng minh đường thẳng Steiner trên đi qua trực tâm tam giác ABC (điểm cố định)

                             Bước 3 là Chứng Minh bổ đề sau: http://diendantoanho...này-nằm-trên-o/

 

              Bổ đề em vẫn chưa làm được, mà có ai giải cho đâu cơ chứ                             

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 30 minutes: 20-08-2015 - 08:53

[viet nam in my heart]

      

 Hạ $MI \perp AB$, $MJ \perp BC$, $MK \perp AC$. Giả sử $XY$ đối xứng với $A'B'$ qua $AB$.

Ta sẽ chứng minh $XY$ đi qua $M$

Ta có một số tính chất cơ bản sau:

- $A', B', C'$ thẳng hàng (đường thẳng $Steiner$)

- $I, J, K$ thẳng hàng (đường thẳng $Simson$)

Hai định lý trên có thể xem tại: https://julielltv.wo...-thang-steiner/

Vì $XY$ và $A'B'$ đối xứng nhau qua $AB$ nên $XY$, $A'B'$ và $AB$ đồng quy tại 1 điểm. Giả sử điểm đó là điểm $Z$.

Ta có: $\widehat{YZA'}= 2 \widehat{AZA'}= 2\widehat{C'ZI}$

Vì $C'$ đối xứng với $M$ qua $AB$ và $Z$ nằm trên $AB$ nên $ 2\widehat{C'ZI}= \widehat{C'ZM}$

Do đó $\widehat{YZA'}= \widehat{C'ZM}$

Mà $A',C',Z$ thẳng hàng nên $Y,Z,M$ thẳng hàng. Mà $X,Y,Z$ thẳng hàng nên $XY$ đi qua $M$ hay $x$ đi qua $M$.

Chứng minh tương tự $y,z$ cũng đi qua $M$

Vậy $x,y,z$ đồng quy tại $M$ nằm trên $(O)$. 

 

[30 minutes]

      

 Hạ $MI \perp AB$, $MJ \perp BC$, $MK \perp AC$. Giả sử $XY$ đối xứng với $A'B'$ qua $AB$.

Ta sẽ chứng minh $XY$ đi qua $M$

Ta có một số tính chất cơ bản sau:

- $A', B', C'$ thẳng hàng (đường thẳng $Steiner$)

- $I, J, K$ thẳng hàng (đường thẳng $Simson$)

Hai định lý trên có thể xem tại: https://julielltv.wo...-thang-steiner/

Vì $XY$ và $A'B'$ đối xứng nhau qua $AB$ nên $XY$, $A'B'$ và $AB$ đồng quy tại 1 điểm. Giả sử điểm đó là điểm $Z$.

Ta có: $\widehat{YZA'}= 2 \widehat{AZA'}= 2\widehat{C'ZI}$

Vì $C'$ đối xứng với $M$ qua $AB$ và $Z$ nằm trên $AB$ nên $ 2\widehat{C'ZI}= \widehat{C'ZM}$

Do đó $\widehat{YZA'}= \widehat{C'ZM}$

Mà $A',C',Z$ thẳng hàng nên $Y,Z,M$ thẳng hàng. Mà $X,Y,Z$ thẳng hàng nên $XY$ đi qua $M$ hay $x$ đi qua $M$.

Chứng minh tương tự $y,z$ cũng đi qua $M$

Vậy $x,y,z$ đồng quy tại $M$ nằm trên $(O)$. 

Em thấy vẫn cứ sao sao ấy

Anh thử làm bài này xem http://diendantoanho...này-nằm-trên-o/

Quan trọng là đường thẳng đó phải đi qua trực tâm tam giác đó

[Dung Du Duong]

      

 Hạ $MI \perp AB$, $MJ \perp BC$, $MK \perp AC$. Giả sử $XY$ đối xứng với $A'B'$ qua $AB$.

Ta sẽ chứng minh $XY$ đi qua $M$

Ta có một số tính chất cơ bản sau:

- $A', B', C'$ thẳng hàng (đường thẳng $Steiner$)

- $I, J, K$ thẳng hàng (đường thẳng $Simson$)

Hai định lý trên có thể xem tại: https://julielltv.wo...-thang-steiner/

Vì $XY$ và $A'B'$ đối xứng nhau qua $AB$ nên $XY$, $A'B'$ và $AB$ đồng quy tại 1 điểm. Giả sử điểm đó là điểm $Z$.

Ta có: $\widehat{YZA'}= 2 \widehat{AZA'}= 2\widehat{C'ZI}$

Vì $C'$ đối xứng với $M$ qua $AB$ và $Z$ nằm trên $AB$ nên $ 2\widehat{C'ZI}= \widehat{C'ZM}$

Do đó $\widehat{YZA'}= \widehat{C'ZM}$

Mà $A',C',Z$ thẳng hàng nên $Y,Z,M$ thẳng hàng. Mà $X,Y,Z$ thẳng hàng nên $XY$ đi qua $M$ hay $x$ đi qua $M$.

Chứng minh tương tự $y,z$ cũng đi qua $M$

Vậy $x,y,z$ đồng quy tại $M$ nằm trên $(O)$. 

Thực chất dụng ý của mình cx giống như bạn 30 minutes đã nêu trên

Đường thẳng A',B',C' đi qua 1 điểm cố định là trực tâm tam giác ABC nên các đường thẳng đối xứng với nó mới đồng quy tại 1 điểm nằm trên (O)

Nhưng cách của bạn dễ hơn mình tưởng rất nhiều, thanks

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 20-08-2015 - 16:02

[viet nam in my heart]

Thực chất dụng ý của mình cx giống như bạn 30 minutes đã nêu trên

Đường thẳng A',B',C' đi qua 1 điểm cố định là trực tâm tam giác ABC nên các đường thẳng đối xứng với nó mới đồng quy tại 1 điểm nằm trên (O)

Nhưng cách của bạn dễ hơn mình tưởng rất nhiều, thanks

 

 

Em thấy vẫn cứ sao sao ấy

Anh thử làm bài này xem http://diendantoanho...này-nằm-trên-o/

Quan trọng là đường thẳng đó phải đi qua trực tâm tam giác đó

 

Bài này thì chỉ cần làm như vậy thôi còn với bài tổng quát khi đường thẳng bất kỳ đi qua trực tâm $H$ chính là định lý Collings

[30 minutes]

Bài này thì chỉ cần làm như vậy thôi còn với bài tổng quát khi đường thẳng bất kỳ đi qua trực tâm $H$ chính là định lý Collings

thanks anh nha

[Dung Du Duong]

Bài này thì chỉ cần làm như vậy thôi còn với bài tổng quát khi đường thẳng bất kỳ đi qua trực tâm $H$ chính là định lý Collings

bạn cho mình cái links của định lí này đc ko, mình tìm mãi ko thấy

[viet nam in my heart]

bạn cho mình cái links của định lí này đc ko, mình tìm mãi ko thấy

Bạn có thể tham khảo ở tài liệu này

File gửi kèm

•  hhp.pdf   3.14MB   24 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 21-08-2015 - 13:49

[Dung Du Duong]

Bạn có thể tham khảo ở tài liệu này

Bạn có biết cách CM điểm anti-Steiner khác ngoài cách dùng góc định hướng ko (nói thật là phần này mình chưa học)

Mình cx có tìm thấy 1 vài chuyên đề về nó nhưng mà toàn cách trên thôi

[viet nam in my heart]

Bạn có biết cách CM điểm anti-Steiner khác ngoài cách dùng góc định hướng ko (nói thật là phần này mình chưa học)

Mình cx có tìm thấy 1 vài chuyên đề về nó nhưng mà toàn cách trên thôi

Việc sử dụng góc định hướng chỉ để đỡ phải xét nhiều trường hợp thôi còn không muốn sử dụng thì bạn vẽ hình trong từng trường hợp rồi biến đổi góc là ra thôi