Chủ đề này có 1 trả lời

[buibichlien]

Tính : $I=\lim_{x\to\infty}(\frac{x+3}{x+2})^{3x+1}$

[LzuTao]

Tính : $I=\lim_{x\to\infty}(\frac{x+3}{x+2})^{3x+1}$

Đầu tiên ta tính giới hạn sau: 

\begin{align*}\lim_{x\to\infty}\left [\left ( 3x+1 \right )\ln\left(\frac{x+3}{x+2}\right)  \right ]&=\lim_{x\to\infty} \left (3x\ln\left(\frac{x+3}{x+2}\right)  \right )\\&=3\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x+3}{x+2}}{\frac1x}\\& \underset{\text{L'Hospital}}{=}\quad3\lim_{x\to\infty}\frac{\left ( \frac{x+3}{x+2} \right )'}{\left ( \frac1x \right )'}\\&=3\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{(x+2)(x+3)}=3\end{align*}

 

______________________

 

Từ đó, ta có:

\begin{align*}\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+3}{x+2}\right)^{3x+1}&=\lim_{x\to\infty}e^{\ln\left(\frac{x+3}{x+2}\right)^{3x+1}}\\&=\lim_{x\to\infty}e^{\left ( 3x+1 \right )\ln\left(\frac{x+3}{x+2}\right)}\\&=\lim_{x\to\infty}e^{3}\\&=e^{3}\end{align*}

 

Hơi phức tạp nhỉ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 01-09-2015 - 21:22