667 replies to this topic

[Kim Vu]

cho a,b là các số không âm thỏa mãn 

             $a^{2}+b^{2}=a+b$   Tìm min của:$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}$

Ta có:$A=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}$

$=\frac{a+b+2ab}{(a+1)(b+1)}$

$=\frac{a^2+b^2+2ab}{(a+1)(b+1)}$

$=\frac{(a+b)^2}{(a+1)(b+1)}$

$=\frac{(a+b)^2}{ab+1+a+b}$

Từ $a^2+b^2=a+b \Rightarrow 2(a+b) \geq (a+b)^2$

 $\Rightarrow (a+b)(a+b-2) \leq 0$ 

$ \Rightarrow a+b-2 \leq 0 \Leftrightarrow  a+b \leq 2$ mà $a+b \geq 2\sqrt{ab}$ nên $ab \leq 1$

Do đó $a+b+ab+1 \leq 4$

$A \geq \frac{(a+b)^2}{4} \geq 0$

 $\Rightarrow Min A=0$ tại $x=y=0$

[tpdtthltvp]

cho a,b là các số không âm thỏa mãn 

             $a^{2}+b^{2}=a+b$   Tìm min của:$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}$

$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}=\frac{a^2}{a^2+a}+\frac{b^2}{b^2+b}\geq \frac{(a+b)^2}{2(a+b)}=\frac{a+b}{2}=\frac{a^2+b^2}{2}\geq \frac{2ab}{2}=ab\geq 0$.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=0$

[Element hero Neos]

cho a,b là các số không âm thỏa mãn 

             $a^{2}+b^{2}=a+b$   Tìm min của:$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}$

$a,b$ không âm nên $a\geq 0, b\geq 0\Rightarrow A=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\geq 0$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=0$

Vậy min $A=0\Leftrightarrow a=b=0$  

[nqt123]

nếu như đề của bạn thì min sẽ = 0 vì a,b$\geq 0$ còn dấu = hiển nhiên a=b=0

mình nhầm đề là tìm max nhé bạn

[Kim Vu]

mình nhầm đề là tìm max nhé bạn

Cm như trên ta có $a+b \leq 2$

Nếu là max thì mình sẽ làm lại như sau

$A=1-\frac{1}{a+1}+1-\frac{1}{b+1} \leq 2-\frac{4}{a+b+2}$

Mà $a+b+2 \leq 4 \Rightarrow \frac{4}{a+b+2} \geq 1$

$\Rightarrow A \leq 2-1=1$.Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

[Trung Kenneth]

$ Chứng minh rằng: $(\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}})^8>3^6$

(Đề thi HSG huyện mình đấy)

Edited by Trung Kenneth, 27-12-2015 - 08:56.

[Kim Vu]

$Chứng minh rằng: $(\sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{3-2\sqrt{2}})^8>3^6$ 

(Đề thi HSG huyện mình đấy)$

$(\sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{3-2\sqrt{2}})^8$

$=(3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}+2\sqrt{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})})^4$

$=8^4=(2^3)^4=16^3>9^3=3^6$

Edited by Kim Vu, 26-12-2015 - 20:54.

[kuhaza]

cmr : $\frac{1}{a +3b} + \frac{1}{b +3c} + \frac{1}{c +3a}\geq \frac{1}{a +2b +c}+\frac{1}{b +2c +a}+\frac{1}{c +2a +b}$ ( a,b,c>0 ) 

[kuhaza]

cho x,y,z,t>0 và xyzt=1. cmr

$\frac{1}{x^{3}(yz+zt+yt)}+\frac{1}{y^{3}(xt+tz+xz)}+\frac{1}{z^{3}(xt+ty+xy)}+\frac{1}{t^{3}(xy+yz+xz)}\geq \frac{4}{3}$

[huy2403exo]

cmr : $\frac{1}{a +3b} + \frac{1}{b +3c} + \frac{1}{c +3a}\geq \frac{1}{a +2b +c}+\frac{1}{b +2c +a}+\frac{1}{c +2a +b}$ ( a,b,c>0 ) 

 

$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+2c+b}\geq \frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}$

 

Tương tự cộng các vế => đpcm 

[kuhaza]

tìm min A = $\frac{3a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{5c}{a+b}$ biết a,b,c>0

[meomunsociu]

cmr : $\frac{1}{a +3b} + \frac{1}{b +3c} + \frac{1}{c +3a}\geq \frac{1}{a +2b +c}+\frac{1}{b +2c +a}+\frac{1}{c +2a +b}$ ( a,b,c>0 ) 

Ta có : $\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+2c+a}\geq \frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}$

(BĐT: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$)

Lập các BĐT tương tự rồi rút gọn suy ra ĐPCM

[kuhaza]

cmr $\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4c^{2}+1}+\frac{c}{4a^{2}+1}\geq a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}$ biết a+b+c+d =1 và a,b,c,d ko âm

[superpower]

tìm min A = $\frac{3a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{5c}{a+b}$ biết a,b,c>0

Đặt $x=b+c; y=a+c , z=a+b$

Tính $a,b,c $theo$ x,y,z$

Đưa vào pt, AM-GM là ra

[PlanBbyFESN]

tìm min A = $\frac{3a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{5c}{a+b}$ biết a,b,c>0

$\frac{3a}{b+c}+3= (a+b+c)\left ( \frac{3}{b+c} \right )$ 

tt:...+4; ...+5

$\Rightarrow A= (a+b+c)(\frac{3}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{5}{a+b})-12\geq \frac{1}{2}(\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5})^{2}-12$  (C-S)

Dấu '=' dựa vào dấu '=' của C-S mà tìm nhé

[Trung Kenneth]

$(\sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{3-2\sqrt{2}})^8$

$=(3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}+2\sqrt{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})})^4$

$=8^4=(2^3)^4=16^3>9^3=3^6$

Bạn ơi mình nhầm đề phải là căn bậc 3 của 2 số trong ngoặc 

[kuhaza]

biết xyzt=1 và x,y,z,t>0. cm: $\frac{1}{x^{3}(zy+zt+yt)}+\frac{1}{y^{3}(xz+zt+xt)}+\frac{1}{z^{3}(xy+yt+xt)}+\frac{1}{t^{3}(xy+yz+xz)}\geq \frac{4}{3}$

[kuhaza]

bài này nữa  

cho x,y,z>o

1) biết x+y+z=3. c/m : x² + y² + z² + xyz $\geq$ 4

2) biết x+y+z=1. c/m : x³ + y³ + z³ + 6xyz $\geq$ 1/4

3) biết x+y+z=5 và xy + yz + xz = 8. tìm min, max của x,y,z.

[kuhaza]

cmr $\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4c^{2}+1}+\frac{c}{4a^{2}+1}\geq a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}$ biết a+b+c+d =1 và a,b,c,d ko âm

$\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4c^{2}+1}+\frac{c}{4a^{2}+1}= \frac{a^{3}}{4a^{2}b^{2}+a^{2}}+\frac{b^{3}}{4c^{2}b^{2}+b^{2}}+\frac{c^{3}}{4a^{2}c^{2}+c^{2}}\geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+4(a^{2}b^{2}+c^{2}b^{2}+a^{2}c^{2})}$

ta phải c/m a² + b² + c² + 4( a²b² + b²c² + c²a²)=1= ( a+b+c)²

            <=> 2( a²b² + b²c² + c²a²)= ab+bc+ac

            <=>ab(2ab-1) + bc(2bc-1) + ac(2ac-1)=0 luôn đúng.

dấu = xảy ra khi 2 trg 3 số=0, số còn lại =1

[kuhaza]

cho pt : -x² + 2x +4$\sqrt{(3-x)(m+1)}$ = m - 3

tìm m để pt có nghiệm

Edited by kuhaza, 29-12-2015 - 20:55.