Chủ đề này có 3 trả lời

[caybutbixanh]

Bài 1: Cho $a,b$ thỏa $a^2+ab+b^2=3.$ Tìm GTNN,GTLN của $P=a^2-ab-3b^2.$

Bài 2: Cho $a,b,c>0.$ Tìm GTNN: $M=\frac{a^2}{(a+c)^2}+\frac{b^2}{(b+a)^2}+\frac{c^2}{(c+b)^2}$

Bài 3: Cho $x,y >0$ thỏa $xy \leq y-1.$ Tìm GTLN : $P=\frac{x+y}{\sqrt{x^2-xy+3y^2}}-\frac{x-2y}{6(x+y)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 30-08-2015 - 00:47

[phamquanglam]

Bài 2: Cho $a,b,c>0.$ Tìm GTNN: $M=\frac{a^2}{(a+c)^2}+\frac{b^2}{(b+a)^2}+\frac{c^2}{(c+b)^2}$

 

Ta có: $M=\sum \frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}=\sum \frac{1}{(1+\frac{b}{a})^{2}}$

Đặt: $(x,y,z)=(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a})$ nên $xyz=1$

Nên: $M=\sum \frac{1}{(1+x)^{2}}$

Ta lại có: $(1+xy)(1+\frac{x}{y})\geq (1+x)^{2}\Leftrightarrow \frac{1}{(1+x)^{2}}\geq \frac{y}{(1+xy)(x+y)}$

CMTT: $\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{x}{(1+xy)(x+y)}$

$\Rightarrow \frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{x+y}{(1+xy)(x+y)}=\frac{1}{1+xy}$

Ta có: $M=\sum \frac{1}{(1+x)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{(z+1)^{2}}=\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^{2}}$

Giờ chứng minh $\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^{2}}\geq \frac{3}{4}$ $\Leftrightarrow (z-1)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Dấu bằng khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c=1$

[chanhquocnghiem]

Bài 1: Cho $a,b$ thỏa $a^2+ab+b^2=3.$ Tìm GTNN,GTLN của $P=a^2-ab-3b^2.$

$a^2+ab+b^2=3\Rightarrow b=\frac{-a\pm \sqrt{12-3a^2}}{2}$

(ĐK : $a,b\in \left [ -2;2 \right ]$)

$P=a^2-ab-3b^2=3-2ab-4b^2=3-2b(a+2b)=3+(a\mp \sqrt{12-3a^2})(\pm \sqrt{12-3a^2})=3a^2\pm a\sqrt{12-3a^2}-9$

Xét 2 TH :

$1)$ $b=\frac{-a+\sqrt{12-3a^2}}{2}$

+ $0\leqslant a\leqslant 2$ :

   $P=3a^2+\sqrt{12a^2-3a^4}-9\Rightarrow P'=6a+\frac{12a-6a^3}{\sqrt{12a^2-3a^4}}$

   $P'=0\Leftrightarrow a=0$ hoặc $a=\sqrt{2+\sqrt{3}}$

   $P(0)=-9$ (1)

   $P\left (\sqrt{2+\sqrt{3}} \right )=4\sqrt{3}-3$ (2)

   $P(2)=3$ (3)

+ $-2\leqslant a< 0$ :

   $P=3a^2-\sqrt{12a^2-3a^4}-9\Rightarrow P'=6a-\frac{12a-6a^3}{\sqrt{12a^2-3a^4}}$

   $P'=0\Leftrightarrow a=-\sqrt{2-\sqrt{3}}$

   $P\left (-\sqrt{2-\sqrt{3}} \right )=-4\sqrt{3}-3$ (4)

   $P(-2)=3$ (5)

 

$2)$ $b=\frac{-a-\sqrt{12-3a^2}}{2}$

+ $0\leqslant a\leqslant 2$ :

   $P=3a^2-\sqrt{12a^2-3a^4}-9\Rightarrow P'=6a-\frac{12a-6a^3}{\sqrt{12a^2-3a^4}}$

   $P'=0\Leftrightarrow a=0$ hoặc $a=\sqrt{2-\sqrt{3}}$

   $P(0)=-9$ (6)

   $P\left (\sqrt{2-\sqrt{3}} \right )=-4\sqrt{3}-3$ (7)

   $P(2)=3$ (8)

+ $-2\leqslant a< 0$ :

   $P=3a^2+\sqrt{12a^2-3a^4}-9\Rightarrow P'=6a+\frac{12a-6a^3}{\sqrt{12a^2-3a^4}}$

   $P'=0\Leftrightarrow a=-\sqrt{2+\sqrt{3}}$

   $P\left (-\sqrt{2+\sqrt{3}} \right )=4\sqrt{3}-3$ (9)

   $P(-2)=3$ (10)

 

So sánh (1),(2),...,(10) suy ra :

GTLN của $P$ là $4\sqrt{3}-3$ khi $a=\sqrt{2+\sqrt{3}};b=-\sqrt{2-\sqrt{3}}$ hoặc $a=-\sqrt{2+\sqrt{3}};b=\sqrt{2-\sqrt{3}}$

GTNN của $P$ là $-4\sqrt{3}-3$ khi $a=-\sqrt{2-\sqrt{3}};b=\sqrt{2+\sqrt{3}}$ hoặc $a=\sqrt{2-\sqrt{3}};b=-\sqrt{2+\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 27-08-2015 - 09:30

[Phuong Thu Quoc]

Bài 1: Cho $a,b$ thỏa $a^2+ab+b^2=3.$ Tìm GTNN,GTLN của $P=a^2-ab-3b^2.$

 

$\frac{P}{3}=\frac{a^{2}-ab-3b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{t^{2}-t-3}{t^{2}+t+1};t=\frac{a}{b}$

Đến đây khảo sát hàm số hoặc dùng tam thức bậc hai.