Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangson2598]

Chứng minh bất đẳng thức:

$(\frac{sinx}{x})^3\geq cos^{2}x$ với mọi $x\epsilon (0;\frac{\Pi }{2})$

[LzuTao]

Chứng minh bất đẳng thức:

$(\frac{\sin x}{x})^3\geq \cos^{2}x$ với mọi $x\epsilon (0;\frac{\pi }{2})$

Ta có 2 cách chứng minh:

$\bullet$ Cách 1:

 Vì $x\in \left ( 0;\frac\pi2 \right )$ nên ta có : $\tan x>0, \sin x>0, \cos x>0$, biến đổi ta được bất đẳng thức tương đương:

$$\tan^2x\sin x\ge x^3\tag{1}$$

Xét $f(x)=\tan^2x\sin x - x^3$

\begin{align*}f'(x)&=\tan^2 x\cos x+\tan x \sin x\frac1{\cos^2 x}+\tan x \sin x\frac1{\cos^2 x}-3x^2\\&\ge3\tan^2x\cdot\frac1{\sqrt[3]{\cos x} }-3x^2\\&> 3x^2-3x^2=0\text{ (Vì ta có: $\tan x>x$ (dễ chứng minh) , $\cos x<1$)}\end{align*}

Từ đó suy ra $f(x)\ge f(0)=0$ hay $(1)$ ĐÚNG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 30-08-2015 - 21:35

[LzuTao]

$\bullet$ Cách 2:

Mò mãi mới ra

Ta cm bổ đề sau: $$\forall x\in \left(0,\frac\pi2\right), \frac{\sin x}x>1-\frac{x^2}6\tag{1}$$ hay $\sin x>x-\frac{x^3}6$

Đặt $f(x)=\sin x-x+\frac{x^3}6$

Ta có:

\begin{align*} f'(x)&=\cos x-1+\frac{x^2}2\\&=2\left ( \frac {x^2}4-\sin^2\frac x2 \right )\\&=2\left ( \frac x2-\sin\frac x2 \right )\left ( \frac x2+\sin\frac x2 \right )\\&>0\, \text{(Do $x>\sin x, \forall x \in \left( 0; \frac\pi2 \right)$, vế còn lại dương) }\end{align*}

Từ đó có ĐPCM.

___________________________________________________________________

 

Ta có thể biến đổi BĐT ban đầu về dạng: $$f(x)= \sin^3(x)-x^3\cos^2(x)$$

Ta có: \begin{align*} f'(x)&= -3x^2\cos^2(x)+2x^3\sin(x)\cos (x)+3\sin^2(x)\cos (x)\\\iff \frac{f'(x)}{x^2\cos x}&=-3\cos x+2x\sin x+3\cdot \left ( \frac{\sin x}{x} \right )^2\\&>-3\cos x+2x^2\left ( 1-\frac{x^2}6 \right )+3\cdot \left ( 1-\frac{x^2}6 \right )^2\\&=x^2+3\left ( 1-\cos x \right )>0\end{align*}

Từ đó suy ra $f'(x)>0$ hay $f(x)\ge f(0)=0$

Q.E.D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 01-09-2015 - 23:20