Chứng minh bất đẳng thức:
$(\frac{sinx}{x})^3\geq cos^{2}x$ với mọi $x\epsilon (0;\frac{\Pi }{2})$
Chứng minh bất đẳng thức:
$(\frac{sinx}{x})^3\geq cos^{2}x$ với mọi $x\epsilon (0;\frac{\Pi }{2})$
Thằng đần nào cũng có thể biết. Vấn đề là phải hiểu.
Albert Einstein
My Facebook: https://www.facebook...100009463246438
Chứng minh bất đẳng thức:
$(\frac{\sin x}{x})^3\geq \cos^{2}x$ với mọi $x\epsilon (0;\frac{\pi }{2})$
Ta có 2 cách chứng minh:
$\bullet$ Cách 1:
Vì $x\in \left ( 0;\frac\pi2 \right )$ nên ta có : $\tan x>0, \sin x>0, \cos x>0$, biến đổi ta được bất đẳng thức tương đương:
$$\tan^2x\sin x\ge x^3\tag{1}$$
Xét $f(x)=\tan^2x\sin x - x^3$
Edited by LzuTao, 30-08-2015 - 21:35.
$\bullet$ Cách 2:
Mò mãi mới ra
Ta cm bổ đề sau: $$\forall x\in \left(0,\frac\pi2\right), \frac{\sin x}x>1-\frac{x^2}6\tag{1}$$ hay $\sin x>x-\frac{x^3}6$
Đặt $f(x)=\sin x-x+\frac{x^3}6$
Ta có:
Từ đó có ĐPCM.
___________________________________________________________________
Ta có thể biến đổi BĐT ban đầu về dạng: $$f(x)= \sin^3(x)-x^3\cos^2(x)$$
Ta có: \begin{align*} f'(x)&= -3x^2\cos^2(x)+2x^3\sin(x)\cos (x)+3\sin^2(x)\cos (x)\\\iff \frac{f'(x)}{x^2\cos x}&=-3\cos x+2x\sin x+3\cdot \left ( \frac{\sin x}{x} \right )^2\\&>-3\cos x+2x^2\left ( 1-\frac{x^2}6 \right )+3\cdot \left ( 1-\frac{x^2}6 \right )^2\\&=x^2+3\left ( 1-\cos x \right )>0\end{align*}
Từ đó suy ra $f'(x)>0$ hay $f(x)\ge f(0)=0$
Q.E.D
Edited by LzuTao, 01-09-2015 - 23:20.
0 members, 1 guests, 0 anonymous users