Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BE,CF. Trên nửa đường tròn (O) đường kính BC không chứa E,F, lấy điểm M bất kì. Gọi I,H,K lần lượt là hình chiếu của M trên AC,BC,BE. Tìm GTNN của biểu thức:
S=$\frac{BC}{MH}+\frac{CE}{MI}+\frac{EB}{MK}$
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BE,CF. Trên nửa đường tròn (O) đường kính BC không chứa E,F, lấy điểm M bất kì. Gọi I,H,K lần lượt là hình chiếu của M trên AC,BC,BE. Tìm GTNN của biểu thức:
S=$\frac{BC}{MH}+\frac{CE}{MI}+\frac{EB}{MK}$
Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) có 2 đường phân giác BM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại K. Đường thẳng BM và CN cắt (O) tại E và F. Trên cung nhỏ BC lấy 1 điểm I bất kỳ, IF cắt AB tại P và IE cắt AC tại Q. Chứng minh: P,K,Q thẳng hàng
Đóng góp topicBài 4,Cho tam giác $ABC$ nhọn,đường cao $AH$.Chứng minh$a,AH=\frac{BC}{cotgB+cotgC}$$b,cotgA+cotgB+cotgC=\frac{AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}}{4S}$ (S:diện tích tam giác ABC)c,G là giao điểm ba đường cao $AH,BD,CE$.Chứng minh:$\frac{SGBC}{tanA}=\frac{SGAC}{tanB}=\frac{SGAB}{tanC}$
Câu c nha
$\frac{S_{BGC}}{tanA}=\frac{BG.BC.sin\widehat{GBC}}{2.\frac{BD}{AD}}= \frac{AD.GB.BC.\frac{DC}{BC}}{2.BD}=\frac{AD.GB}{2tanC}=\frac{\frac{AD}{AB}.AB.BG}{2tanC}=\frac{AB.BG.sin\widehat{ABG}}{2tanC}= \frac{S_{ABG}}{tanC}$
Tương tự ta có $\frac{S_{ABG}}{tanC}= \frac{S_{AGC}}{tanB}$
Suy ra điều phải chứng minh
Tập tõm bước đi trên con đường toán học.
Cho tam giác $ABC$ có $H$ là trực tâm. Chứng minh: $\frac{HA}{BC}+\frac{HB}{CA}+\frac{HC}{AB}\geq \sqrt{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 23-08-2016 - 11:14
$\LaTeX$
Cho tam giác $ABC$ có $H$ là trực tâm. Chứng minh: $\frac{HA}{BC}+\frac{HB}{CA}+\frac{HC}{AB}\geq \sqrt{3}$
Gọi các đường cao của tam giác là $AM,BN,CP.$
Ta có: $\Delta APH\sim \Delta AMB(g.g)\Rightarrow \frac{AH}{AB}=\frac{AP}{AM}$
Do đó: $\frac{HA}{BC}.\frac{HC}{AB}=\frac{HA}{AB}.\frac{HC}{BC}=\frac{AP}{AM}.\frac{HC}{BC}=\frac{\frac{1}{2}.AP.HC}{\frac{1}{2}.AM.BC}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}$
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng được: $\frac{HA.HB}{AC.BC}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}; \;\;\;\ \frac{HB.HC}{AB.AC}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}$
Suy ra: $\frac{HA}{BC}.\frac{HC}{AB}+\frac{HA.HB}{AC.BC}+\frac{HB.HC}{AB.AC}=\frac{S_{AHC}+S_{AHB}+S_{BHC}}{S_{ABC}}=1$
Mà ta có BĐT quen thuộc sau: $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$. Áp dụng vào được:
$$(\frac{HA}{BC}+\frac{HB}{CA}+\frac{HC}{AB})^2\geq 3(\frac{HA}{BC}.\frac{HC}{AB}+\frac{HA.HB}{AC.BC}+\frac{HB.HC}{AB.AC})=3\Leftrightarrow \frac{HA}{BC}+\frac{HB}{CA}+\frac{HC}{AB}\geq \sqrt{3}(\text{đpcm}).$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 23-08-2016 - 12:17
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh