Chủ đề này có 1 trả lời

[ilovezu123]

Cho tam giác ABC nhọn không cân, nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB. Đường thẳng PO,NO cắt đường thẳng AM lần lượt tại D,E ; đường thẳng BD và CE cắt nhau tai F. chứng minh rằng:
a. hai tam giác FEO và NEM đồng dạng với nhau.
b. các điểm N,O,F,P thuộc một đường tròn

[huypham2811]

a. Ta có $EO$ là phân giác $\widehat{AEC}$, $DO$ là phần giác $\widehat{ADB}$  suy ra $O$ là tâm bàng tiếp góc $F$ của $\Delta DEF$

 

=> $FO$ là phân giác $\widehat{DFE}$

 

=> $\widehat{OFE}=\frac{\widehat{DFE}}{2}=90^{\circ}-\widehat{MAB}-\widehat{MAC}=90^{\circ}-\widehat{BAC}=\widehat{OCM}=\widehat{EMN}$

 

thêm vào đó $\widehat{OEC}=\widehat{OEA}$ => $\widehat{OEF}=\widehat{OEM}$

 

suy ra đpcm.

 

b. theo bổ đề quen thuộc:$AF$ là đường đối trung của $\Delta ABC$.

 

=> $\widehat{BAF}=\widehat{MAC}=\widehat{BAC}-\widehat{MAB}=(90^{\circ}-\widehat{MAB})-(90^{\circ-}-\widehat{BAC})$

 

<=> $\widehat{BAF}=\widehat{PDF}-\widehat{ONM}=\widehat{PDF}-\widehat{OFD}$  (nhờ câu a)

 

<=> $\widehat{BAF}=\widehat{POF}$

 

Suy ra $A$, $P$, $F$, $O$, đồng viên

 

Hay ta có $A$, $P$, $F$, $O$, $N$ đồng viên (đpcm).