Chủ đề này có 3 trả lời

[caybutbixanh]

Bài 1: Chứng minh $\tan x < \frac{4}{\pi}x ; \forall x \in \left( 0;\frac{\pi}{4} \right) ;$

Bài 2: Chứng minh $3x-x^3 <\frac{2}{\sin 2x} ; \forall x \in \left( 0;\frac{\pi}{2} \right);$

Bài 3 : Cho tam giác $ABC$ có $A<B<C.$ Tìm GTNN: $y=\sqrt{\frac{x-\sin A}{x-\sin C}}+\sqrt{\frac{x-\sin B}{x-\sin C}}$

[LzuTao]

Bài 1: Chứng minh $\tan x < \frac{4}{\pi}x ; \forall x \in \left( 0;\frac{\pi}{4} \right) ;$

Chúng ta có 2 cách chứng minh:

$\bullet$ Cách 1:

Xét \begin{align*}f(x)&=\frac{\tan x}x,\forall x\in\left( 0;\frac{\pi}{4} \right)\\\implies f'(x)&=\frac{2x-\sin2x}{2x^2\cos^2x}>0\,\text{(Do $\sin x<x,\forall x>0$)}\end{align*}

$\implies f(x)<f(\frac\pi4)=\frac4\pi$ hay $\tan x < \frac{4}{\pi}x $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 02-09-2015 - 17:06

[LzuTao]

Bài 2: Chứng minh $3x-x^3 <\frac{2}{\sin 2x} ; \forall x \in \left( 0;\frac{\pi}{2} \right);$

Cách này hơi dở, hy vọng có cách nào hay hơn.

Ta sẽ chứng minh: $$3x-x^3<\frac{9}{5\pi} x+\frac32<\frac2{\sin2x}$$

Dễ hơn không nhỉ

__________________________

P/s: Có gì không hiểu cứ hỏi nhé @@

 

______________________________

 

Hic, Thật ngốc khi không thấy được rằng $3x-x^3\le2<\frac2{\sin2x},\forall x \in \left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 02-09-2015 - 23:27

[LzuTao]

Bài 3 : Cho tam giác $ABC$ có $A<B<C.$ Tìm GTNN: $y=\sqrt{\frac{x-\sin A}{x-\sin C}}+\sqrt{\frac{x-\sin B}{x-\sin C}}$

TXĐ: $D = \left( { - \infty ;\sin A} \right] \cup \left[ {\sin C; + \infty } \right)$

Vì $A<B<C$ nên ta có $$\sin A<\sin B<\sin C=\sin(A+B)\le1$$

Ta có: $$y' = \frac{{\sin A - \sin C}}{{2{{\left( {x - \sin C} \right)}^2}}}\sqrt {\frac{{x - \sin C}}{{x - \sin A}}} + \frac{{\sin B - \sin C}}{{2{{\left( {x - \sin C} \right)}^2}}}\sqrt {\frac{{x - \sin C}}{{x - \sin B}}} < 0$$

Từ đó dựa vào BBT ta suy ra $y\ge\sqrt {\frac{{\sin A - \sin B}}{{\sin A - \sin C}}}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=\sin A$.