Chủ đề này có 3 trả lời

[ViLQD03]

Cho số thực $x$ sao cho $x+ \frac{1}{x}$ là số nguyên. CMR $A = x^n + \frac{1}{x^n}$ là số nguyên với mọi $n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhamHungCxHT: 01-09-2015 - 12:19

[Silverbullet069]

Cho số thực $x$ sao cho $x+ \frac{1}{x}$ là số nguyên. CMR $A = x^n + \frac{1}{x^n}$ là số nguyên với mọi $n$

Ta có : $x \in \mathbb{R} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x \in \mathbb{I} & \\ x \in \mathbb{Q} & \end{matrix}\right.$

Với $x \in \mathbb{I} \Rightarrow x + \frac{1}{x} \in \mathbb{I}$ (KTMĐK)

Với $x \in \mathbb{Q}$.

Có : $x + \frac{1}{x} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{x^2 + 1}{x} \in \mathbb{Z} \Rightarrow x^2 + 1 \vdots x \Rightarrow 1 \vdots x \Rightarrow x \in \mathbb{Ư}(1) = ${$\pm$1}

Thay x = 1 vào biểu thức, ta có :

$A = 1^n + \frac{1}{1^n} = 1 + 1 = 2$ với mọi n

Thay x = -1 vào biểu thức, ta có :

$A = (-1)^n + \frac{1}{(-1)^n} = 2.(-1)^n \not \in \mathbb{Z}$ với mọi n

Vậy $x = 1$ thì $A \in \mathbb{Z}$ với mọi n.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 01-09-2015 - 12:43

[ViLQD03]

bài này CM = pp phản chứng thế nào anh

[nguyenhien2000]

Ta có:

$x + \frac{1}{x}$ là số nguyên

$\Rightarrow (X+\frac{1}{x})^{2}$ là số nguyên

$\Leftrightarrow x^{2}+2.x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}$ nguyên

$\Leftrightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ nguyên

$\Rightarrow A$ nguyên