Chủ đề này có 2 trả lời

[bachmahoangtu2003]

Cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn. $H$ là trực tâm và $AM$ là trung tuyến. Đường thẳng vuông góc với $HM$ tại $H$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh $HP=HQ$.

[phamhuy1801]

Từ $B$ kẻ đường thẳng song song với $PQ$ cắt $AC$ tại $K$, $AH$ cắt $BK$ tại $I$.

Dễ thấy $HM \perp BK (PQ//BK, HM \perp PQ)$, lại có $BM \perp HI$ nên $MI \perp BQ$, cũng có $CK \perp BQ$ do đó $MI//CK$, mà $BM=MC$ suy ra $BI=IK$

Sử dụng bổ đề hình thang đối với hình thang $PQKB$ có hai cạnh bên cắt nhau tại $A$, $A$ trung điểm $I \in BK$ nên nó cũng đi qua trung điểm đáy còn lại, tức là $HP=HQ$

[ThinhSenpai]

Kẻ CN//PQ ( I là giao điểm CN với AK) Suy ra QP là đường trung bình( ĐTB) của $\bigtriangleup ACN\Rightarrow AQ=QC,AP=PN,AH=HI$

QM là ĐTB của $\bigtriangleup ACB (Do:MB=MC,AQ=QC)$ suy ra QM//AB

QPIN là hình bình hành vì có:

QP//NI, QI//PN

$\bigtriangleup APH=\bigtriangleup QHI$ Vì có:QI=PN (QPIN là hình bình hành) suy ra QI=AP (AP=PN đã nói ở trên)

$\widehat{I_1}=\widehat{A_2}$ so le trong

AH=HI đã nói ở trên

suy ra 2 tam giác bằng nhau ( dẫn đến các góc tương ứng cũng bằng nhau => HP=HQ)

chuẩn thì nha !!

Hình gửi kèm

•