Chủ đề này có 2 trả lời

[an1907]

Giải phương trình :

$\sqrt{x} + \sqrt{1 - x} + \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{1 - x} = \sqrt{2} + \sqrt[4]{8}$

[chieckhantiennu]

Giải phương trình :

$\sqrt{x} + \sqrt{1 - x} + \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{1 - x} = \sqrt{2} + \sqrt[4]{8}$

Ta có: $(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})^2 \ge 2$

$ $(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})^2\leq 2( \sqrt{x}+\sqrt{1-x})=2\sqrt{2}$

$\Rightarrow VT \le VP$

dấu bằng xảy ra khi $x=\dfrac{1}{2}$

[Pino]

Giải phương trình :

$\sqrt{x} + \sqrt{1 - x} + \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{1 - x} = \sqrt{2} + \sqrt[4]{8}$

    $\sqrt{x} + \sqrt{1 - x} + \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{1 - x} = \sqrt{2} + \sqrt[4]{8}$    $(\star)$

Điều kiện: $0 \le x \le 1.$

Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có:

 $\star$    $(\sqrt{x} + \sqrt{1 - x})^2 \le (1^2+1^2)(x+1-x)=2$

$\Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{1 - x} \le \sqrt 2$

 $\star$    $(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{1 - x})^2 \le (1^2+1^2)(\sqrt{x} + \sqrt{1 - x})=2 \sqrt 2$

$\Rightarrow \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{1 - x} \le \sqrt [4] {8}$

Do đó: $(\star)\Leftrightarrow x= \frac{1}{2}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pino: 02-09-2015 - 22:49