Chủ đề này có 8 trả lời

[Chung Anh]

         Đề thi chọn đội tuyển lần 1 trường THPT chuyên Hưng Yên
                        Thời gian làm bài:150 phút
Câu 1 Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}2x^2-3y^2+xy=12 &  & \\ 6x+x^2y=12+6y+y^2x&  & \end{matrix}\right. $
Câu 2 Cho các số thực $a,b,c$ đôi một phân biệt và thỏa mãn $a^2(b+c)=b^2(c+a)=2012$ .Tính $M=c^2(a+b)$
Câu 3 Cho các số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2$ ,Chứng minh rằng $a+b+c+d$ là hợp số
Câu 4 Cho các số thực dương $a,b,c$ .Chứng minh rằng
$\sum \frac{(b+c)^2}{a(b+c+2a)}\geq 2\left ( \sum \frac{a}{b+c} \right ) $
Câu 5 Cho hình vuông $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ .Điểm $M$ thuộc cung nhỏ $CD$ của $(O)$ ,$M$ khác $C,D$ .$MA$ cắt $DB,DC$ theo thứ tự tại $X,Z$ .$MB$ cắt $CA,CD$ theo thứ tự tại $Y,T$ , $CX$ giao $DY$ tại $K$
a. Chứng minh rằng $\widehat{MXT}=\widehat{TXC},\widehat{MYZ}=\widehat{ZYD},\widehat{CKD}=135^{\circ} $
b. Chứng minh rằng $\frac{KX}{MX}+\frac{KY}{MY}+\frac{ZT}{CD}=1 $
c. Gọi $I= MK\cap CD $ .Chứng minh rằng $XT,YZ,OI$ cùng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $KZT$
Câu 6 Trên một cái bảng người ta viết 2014 dấu $+$ và 2015 dấu $-$ .Giả sử mỗi lần ta thực hiên thao tác : 2 dấu bất kì trong bảng bị xóa đi và thay bằng một dấu $+$ nếu chúng giống nhau,thay bằng một dấu $-$ nếu chúng khác nhau .Sau khi thực hiện nhiều lần đến khi trên bảng chỉ còn  một dấu.Hỏi trên bảng còn dấu $+$ hay dấu $-$

 

 

 

P/s: Vì dốt số nên em bỏ lại câu 3 

[marcoreus101]

         Đề thi chọn đội tuyển lần 1 trường THPT chuyên Hưng Yên
                        Thời gian làm bài:150 phút
Câu 1 Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}2x^2-3y^2+xy=12 &  & \\ 6x+x^2y=12+6y+y^2x&  & \end{matrix}\right. $
Câu 2 Cho các số thực $a,b,c$ đôi một phân biệt và thỏa mãn $a^2(b+c)=b^2(c+a)=2012$ .Tính $M=c^2(a+b)$
Câu 3 Cho các số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2$ ,Chứng minh rằng $a+b+c+d$ là hợp số
Câu 4 Cho các số thực dương $a,b,c$ .Chứng minh rằng
$\sum \frac{(b+c)^2}{a(b+c+2a)}\geq 2\left ( \sum \frac{a}{b+c} \right ) $
Câu 5 Cho hình vuông $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ .Điểm $M$ thuộc cung nhỏ $CD$ của $(O)$ ,$M$ khác $C,D$ .$MA$ cắt $DB,DC$ theo thứ tự tại $X,Z$ .$MB$ cắt $CA,CD$ theo thứ tự tại $Y,T$ , $CX$ giao $DY$ tại $K$
a. Chứng minh rằng $\widehat{MXT}=\widehat{TXC},\widehat{MYZ}=\widehat{ZYD},\widehat{CKD}=135^{\circ} $
b. Chứng minh rằng $\frac{KX}{MX}+\frac{KY}{MY}+\frac{ZT}{CD}=1 $
c. Gọi $I= MK\cap CD $ .Chứng minh rằng $XT,YZ,OI$ cùng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $KZT$
Câu 6 Trên một cái bảng người ta viết 2014 dấu $+$ và 2015 dấu $-$ .Giả sử mỗi lần ta thực hiên thao tác : 2 dấu bất kì trong bảng bị xóa đi và thay bằng một dấu $+$ nếu chúng giống nhau,thay bằng một dấu $-$ nếu chúng khác nhau .Sau khi thực hiện nhiều lần đến khi trên bảng chỉ còn  một dấu.Hỏi trên bảng còn dấu $+$ hay dấu $-$

 

 

 

P/s: Vì dốt số nên em bỏ lại câu 3 

Hơi spam nhưng câu 2 và câu 5 giống đề Sư Phạm năm 2012-2013 quá

[the man]

Hơi spam nhưng câu 2 và câu 5 giống đề Sư Phạm năm 2012-2013 quá

thì đúng là như vậy mà 

[hoctrocuaHolmes]

         Đề thi chọn đội tuyển lần 1 trường THPT chuyên Hưng Yên
                        Thời gian làm bài:150 phút
Câu 6 Trên một cái bảng người ta viết 2014 dấu $+$ và 2015 dấu $-$ .Giả sử mỗi lần ta thực hiên thao tác : 2 dấu bất kì trong bảng bị xóa đi và thay bằng một dấu $+$ nếu chúng giống nhau,thay bằng một dấu $-$ nếu chúng khác nhau .Sau khi thực hiện nhiều lần đến khi trên bảng chỉ còn  một dấu.Hỏi trên bảng còn dấu $+$ hay dấu $-$

Chém trước câu tổ 

6.Mỗi lần thực hiện các thao tác như đề bài thì số dấu $-$ được giữ nguyên hoặc giảm đi $2$ do đó tính chẵn lẻ của số dấu $-$ không thay đổi.Ban đầu có $2015$ dấu $-$ là số lẻ nên dấu cuối cùng còn lại là dấu $-$

[HoangVienDuy]

         Đề thi chọn đội tuyển lần 1 trường THPT chuyên Hưng Yên
                        Thời gian làm bài:150 phút
Câu 1 Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}2x^2-3y^2+xy=12 &  & \\ 6x+x^2y=12+6y+y^2x&  & \end{matrix}\right. $

P/s: Vì dốt số nên em bỏ lại câu 3 

đăng bài kẻo lâu rồi chưa đăng

$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}-3y^{2}+xy=12 & & \\ 6x+x^{2}y-6y-xy^{2}=12 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^{2}-3y^{2}+xy=12 & & \\ 2x^{2}-3y^{2}+xy=6x-6y+x^{2}y-xy^{2} & & \end{matrix}\right.$

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^{2}-3y^{2}+xy=12& & \\ (x-y)(x-3)(2-y)=0 & & \end{matrix}\right.$

[Dinh Xuan Hung]

         Đề thi chọn đội tuyển lần 1 trường THPT chuyên Hưng Yên
                        Thời gian làm bài:150 phút

Câu 4 Cho các số thực dương $a,b,c$ .Chứng minh rằng
$\sum \frac{(b+c)^2}{a(b+c+2a)}\geq 2\left ( \sum \frac{a}{b+c} \right ) $
 

 

 

P/s: Vì dốt số nên em bỏ lại câu 3 

Không đăng sớm làm chú làm hết hơi lên FB giờ lại phải đăng lại .Chú ý lần sau lớp 10 đăng vào chỗ Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

 

Ta có:$\frac{a}{b+c}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{a}{b}+\frac{a}{c} \right )$

 

Chứng minh tương tự rồi suy ra $\Rightarrow 2\left ( \sum \frac{a}{b+c} \right )\leq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{b+c}{a} \right )$

 

Khi đó cần chứng minh bất đẳng thức:$\sum \frac{(b+c)^2}{a(b+c+2a)}\geq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{b+c}{a} \right )$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\dfrac{a}{b+c}\left ( \dfrac{2a}{b+c}+1 \right )}\geq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{b+c}{a} \right )(1)$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} x=\dfrac{a}{b+c} & & & \\ y=\dfrac{b}{a+c} & & & \\ z=\dfrac{c}{a+b} & & & \end{matrix}\right.(x,y,z>0)$

 

Khi đó (1) trở thành $\sum \frac{1}{x(2x+1)}\geq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{1}{x} \right )$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{x}+2}\geq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{1}{x} \right )(*)$

 

Mặt khác:Áp dụng bất đẳng thức $C-S$ ta có:

$\sum \frac{\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{x}+2}\geq \frac{\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \right )^2}{\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} +\dfrac{1}{z}\right )+6}$

 

Đặt $t=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c} +\frac{c}{a}\right )+\left ( \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right )\geq 3+3=6$

 

Vì $t\geq 6$

 

$\Leftrightarrow t^2\geq 6t$

 

$\Leftrightarrow 2t^2\geq t^2+6t$

 

$\Leftrightarrow \frac{t^2}{t+6}\geq \frac{t}{2}$

 

$\Leftrightarrow \frac{\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \right )^2}{\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} +\dfrac{1}{z}\right )+6}\geq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{1}{x} \right )$

 

Vì vậy nên $\sum \frac{\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{x}+2}\geq \frac{\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \right )^2}{\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} +\dfrac{1}{z}\right )+6}\geq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{1}{x} \right )$

 

$\Rightarrow$ BĐT $(*)$ luôn đúng

 

Nên ta có ĐPCM:$\sum \frac{(b+c)^2}{a(b+c+2a)}\geq 2\left ( \sum \frac{a}{b+c} \right )$

[Nguyen Minh Hai]

Không đăng sớm làm chú làm hết hơi lên FB giờ lại phải đăng lại .Chú ý lần sau lớp 10 đăng vào chỗ Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

 

Ta có:$\frac{a}{b+c}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{a}{b}+\frac{a}{c} \right )$

 

Chứng minh tương tự rồi suy ra $\Rightarrow 2\left ( \sum \frac{a}{b+c} \right )\leq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{b+c}{a} \right )$

 

Khi đó cần chứng minh bất đẳng thức:$\sum \frac{(b+c)^2}{a(b+c+2a)}\geq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{b+c}{a} \right )$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\dfrac{a}{b+c}\left ( \dfrac{2a}{b+c}+1 \right )}\geq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{b+c}{a} \right )(1)$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} x=\dfrac{a}{b+c} & & & \\ y=\dfrac{b}{a+c} & & & \\ z=\dfrac{c}{a+b} & & & \end{matrix}\right.(x,y,z>0)$

 

Khi đó (1) trở thành $\sum \frac{1}{x(2x+1)}\geq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{1}{x} \right )$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{x}+2}\geq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{1}{x} \right )(*)$

 

Mặt khác:Áp dụng bất đẳng thức $C-S$ ta có:

$\sum \frac{\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{x}+2}\geq \frac{\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \right )^2}{\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} +\dfrac{1}{z}\right )+6}$

 

Đặt $t=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c} +\frac{c}{a}\right )+\left ( \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right )\geq 3+3=6$

 

Vì $t\geq 6$

 

$\Leftrightarrow t^2\geq 6t$

 

$\Leftrightarrow 2t^2\geq t^2+6t$

 

$\Leftrightarrow \frac{t^2}{t+6}\geq \frac{t}{2}$

 

$\Leftrightarrow \frac{\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \right )^2}{\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} +\dfrac{1}{z}\right )+6}\geq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{1}{x} \right )$

 

Vì vậy nên $\sum \frac{\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{x}+2}\geq \frac{\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \right )^2}{\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} +\dfrac{1}{z}\right )+6}\geq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{1}{x} \right )$

 

$\Rightarrow$ BĐT $(*)$ luôn đúng

 

Nên ta có ĐPCM:$\sum \frac{(b+c)^2}{a(b+c+2a)}\geq 2\left ( \sum \frac{a}{b+c} \right )$

Ý tưởng của em thì củng như bác Hùng...cơ mà đến đoạn:

Cần chứng minh: $\sum \frac{(b+c)^2}{a(b+c+2a)} \geqslant \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{b+c}{a} \right )$ thì có cách khác như sau:

Sử dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có:

$\left [ \sum \frac{(b+c)^2}{a(b+c+2a)} \right ]\left [ \sum \frac{(b+c+2a)}{a} \right ] \geqslant \left ( \sum \frac{b+c}{a} \right )^2$

 

$\Rightarrow$ cần chứng minh :        $2\left ( \sum \frac{b+c}{a} \right ) \geqslant \sum \frac{b+c+2a}{a}$

 

                                                                 $\Leftrightarrow \sum \frac{b+c}{a} \geqslant 6$          (Đúng theo $AM-GM$)

 

Do đó ta có điều phải chứng minh!

[Dinh Xuan Hung]

         Đề thi chọn đội tuyển lần 1 trường THPT chuyên Hưng Yên
                        Thời gian làm bài:150 phút

Câu 3 Cho các số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2$ ,Chứng minh rằng $a+b+c+d$ là hợp số
 

 

 

 

P/s: Vì dốt số nên em bỏ lại câu 3 

Tham khảo tại ĐÂY

[CaptainCuong]

Tham khảo tại ĐÂY

Ta có: $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-ab=c^2+2cd+d^2-cd\Leftrightarrow (a+b)^2-(c+d)^2=ab-cd\Leftrightarrow (a+b+c+d)(a+b-c-d)=ab-cd$
Vì $a+b+c+d\in \mathbb{Z^+}\Rightarrow$ $a+b-c-d=\frac{ab-cd}{a+b+c+d}$
mà $a+b-c-d\in \mathbb{Z}\Rightarrow \frac{ab-cd}{a+b+c+d} \mathbb{Z}$
Giả sử $a+b+c+d$ là số nguyên tố $\Rightarrow (ab-cd)\vdots (a+b+c+d)$ (1)
Từ $gt\Leftrightarrow ab-cd=c^2+d^2-2cd-a^2-b^2+2ab$
$\Leftrightarrow ab-cd=(c-d)^2-(a-b)^2=(c-d+a-b)(c-d-a+b)$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow (c-d+a-b)(c-d-a+b)\vdots (a+b+c+d)$
Vì $a+b+c+d$ là số nguyên tố nên ta có 2 trường hợp sau:
+, Ta có: $(c-d+a-b)\vdots (a+b+c+d)\Rightarrow (c-d+a-b+a+b+c+d)\vdots (a+b+c+d)\Leftrightarrow 2(a+c)\vdots (a+b+c+d)$
mà $2<a+b+c+d;a+c<a+b+c+d$ nên trường hợp này vô lí
+, Ta có: $(c-d-a+b)\vdots (a+b+c+d)$. Hoàn toàn tương tự, ta cũng có điều vô lí.
Vậy giả sử sai nên $a+b+c+d$ là hợp số $(Q.E.D)$ $\blacksquare$

 

 

Mình chép sang đây cho các bạn dễ đọc. Nhân tiện mình xin hỏi chỗ màu đỏ sai rồi phải không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CaptainCuong: 03-09-2015 - 16:25