Chủ đề này có 1 trả lời

[Nguyencaca789]

toán  hay 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyencaca789: 10-09-2015 - 10:43

[phamngochung9a]

Cho số nguyên tố p .Giả sử x,y là số tự nhiên khác 0 thỏa mãn $\frac{x^2+p.y^2}{xy}$ là số tự nhiên .Chứng minh $\frac{x^2+p.y^2}{xy}$ =1 +p.

*) Nếu $p\neq 2$:

Ta sẽ chứng minh nếu $x\neq y$ thì $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}$ không thể là số tự nhiên

Ta có thể giả sử $(x;y)=1$. Thật vậy:

 Nếu $(x,y)\neq 1$ thì đặt $\left ( x;y \right )=d\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=x'd & \\ y=y'd & \end{matrix}\right.((x';y')=1)$

Khi đó :$\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=\frac{x'^{2}+py'^{2}}{x'y'}$, thành ra cm  $\frac{x'^{2}+py'^{2}}{x'y'}$$=p+1$ với $(x';y')=1$

Đặt $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=a\left ( a\in \mathbb{N} \right )$

$\Rightarrow x^{2}-axy+py^{2}=0$

$\Delta _{x}=a^{2}y^{2}-4p=m^{2}(m\in \mathbb{N})$

$\Rightarrow (ay-m)(ay+m)=4p$

Do $p>2$ nên $p$ là số nguyên tố lẻ, và $ay+m;ay-m$ cùng tính chẵn lẻ do đó: $\left\{\begin{matrix} ay-m=2 & \\ ay+m=2p & \end{matrix}\right.$       $(*)$

( không thể có $\left\{\begin{matrix} ay-m=2p & \\ ay+m=2 & \end{matrix}\right.$ vì $ay-m<ay+m$)

$(*)\Leftrightarrow ay=p+1\Rightarrow \frac{x^{2}+py^{2}}{x}=p+1\Rightarrow py^{2}\vdots x\Rightarrow p\vdots x$ ( vì $(x;y)=1$

Điều trên là vô lí vì $p$ nguyên tố

   Vậy $x=y\Rightarrow \frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$

*) Nếu $p=2$ thì giải tương tự như trên, cũng dùng tam thức bậc hai ta được

$\left\{\begin{matrix} ay+m=4 & \\ ay-m=2 & \end{matrix}\right.\Rightarrow ay=3$$\Rightarrow 3\vdots a$

$a$ không thể bằng $1$ vì $a= \frac{x^{2}+2y^{2}}{xy}> \frac{x^{2}+y^{2}}{xy}\geq 2$

$a$ có thể bằng $3$ khi $x=1;y=1$, mặt khác $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=a=3=2+1=p+1$ nên suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 08-09-2015 - 17:49