2 replies to this topic

[nhungvienkimcuong]

Cho $\Delta ABC$ với $E\in AC,F\in AB$ sao cho $EF||BC$.Trung trực $BC,EF$ lần lượt cắt $AC,AB$ ở $M,N$.$CF$ lần lượt cắt $(BCM),(EFN)$ tại $P,Q$.$\text{CMR}$ trung trực $PQ$ đi qua trung điểm $MN$

Spoiler

dùng bổ đề $\text{ERIQ}$ được không nhỉ?

 

Edited by nhungvienkimcuong, 10-09-2015 - 05:34.

[huypham2811]

Hạ $NK\perp CF$ và $ML\perp CF$

 

Ta c/m: $KQ=PL$

 

thật vậy, ta để ý : nếu gọi X,Y là t/đ EF và BC thì $\Delta NQK\sim \Delta NXF$ và $\Delta MPL\sim \Delta MCY$

 

Suy ra $\frac{KQ}{NQ}=\frac{\frac{1}{2}EF}{NF}$

 

           $\Leftrightarrow KQ=\frac{1}{2}.\frac{EF.NQ}{NF}=\frac{1}{2}.EF.\frac{sin\widehat{BFC}}{sin\widehat{B}}=\frac{1}{2}.\frac{EF.BC}{CF}$

 

tương tự cho PL suy ra $KQ=PL$

 

Ta có đpcm.

[quanghung86]

Cám ơn bạn huypham2811 cho một lời giải khá ngắn gọn, bài này mình đề nghị trên THTT trước đây, sau đây là đề bài gốc và đáp án

 

Cho tam giác $ABC$. $E,F$ lần lượt thuộc đoạn $CA,AB$ sao cho $EF$ song song $BC$. Trung trực $BC$ cắt $AC$ tại $M$. Trung trực $EF$ cắt $AB$ tại $N$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCM$ cắt $CF$ tại $P$ khác $C$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $EFN$ cắt $CF$ tại $Q$ khác $F$. Chứng minh rằng trung trực của $PQ$ đi qua trung điểm của $MN$.

 

Gọi $H,G$ là hình chiếu của $M,N$ lên $CF$. Gọi $K,L$ lần lượt là hình chiếu của $E$ lên $BC$ và $B$ lên $EF$. Gọi $I,J$ là trung điểm của $BC,EF$. Ta sẽ chứng minh trung trực của $PQ$ đi qua trung điểm $MN$ bằng cách chỉ ra $PH=QG$, thật vậy

Ta dễ có $\angle MPH=\angle MBC=\angle MCB$. Nên các tam giác giác vuông $\triangle MPH\sim\triangle ECK$. Vậy ta có $PH=HM\dfrac{CK}{EK}=HM\dfrac{CI}{MI}\quad (1)$.

Tương tự $\triangle NQG\sim\triangle BFL$ suy ra $QG=NG\dfrac{FL}{BL}=NG\dfrac{FJ}{NJ}\quad (2)$.

Từ (1) và (2) ta có $PH=QG$ khi và chỉ khi $HM\dfrac{CI}{MI}=NG\dfrac{FJ}{NJ}$ tương đương $\dfrac{HM}{NG}=\dfrac{MI.FJ}{CI.NJ}=\dfrac{MI}{NJ}.\dfrac{EF}{BC}\quad (3)$.

Ta lại có $MH.FC=2S_{MFC}=2\dfrac{S_{MFC}}{S_{EFC}}.S_{EFC}=2\dfrac{MC}{CE}.\dfrac{1}{2}EK.EF=\dfrac{MC.EK.EF}{EC}\quad (4)$.

$NG.FC=2S_{SFC}=2\dfrac{S_{NFC}}{S_{BFC}}.S_{BFC}=2\dfrac{NF}{FB}.\dfrac{1}{2}BL.BC=\dfrac{NF.BL.BC}{FB}\quad (5)$.

Từ (4) và (5) ta suy ra $\dfrac{MH}{NG}=\dfrac{MC.EK.EF.FB}{NF.BL.BC.EC}=\dfrac{MC.EF.FB}{NF.BC.EC}=\dfrac{FB}{NF}.\dfrac{MC}{EC}.\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{BL}{NJ}.\dfrac{MI}{EK}.\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{MI}{NJ}.\dfrac{EF}{BC}\quad (6)$.

Từ (6) suy ra (3) đúng. Vậy $PH=QG$. Từ đó trung trực $PQ$ đi qua trung điểm $MN$. Ta có điều phải chứng minh.

Attached Images

•