Chủ đề này có 1 trả lời

[Nhok Tung]

Cho các số thực x,y,z. Chứng minh rằng :

$\frac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(xy+yz+xz)}\leq \frac{3+\sqrt{3}}{9}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 12-09-2015 - 22:38
Chú ý cách đặt tiêu đề

[Dinh Xuan Hung]

Cho các số thực x,y,z. Chứng minh rằng :

$\frac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(xy+yz+xz)}\leq \frac{3+\sqrt{3}}{9}$

Ta có:$\frac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(xy+yz+xz)}\leq \frac{xyz(\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}+\sqrt{x^2+y^2+z^2})}{(x^2+y^2+z^2)}\leq \frac{xyz(\sqrt{3}+1)\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{(x^2+y^2+z^2)\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{(\sqrt{3}+1)xyz}{(x^2+y^2+z^2)\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có:$(x^2+y^2+z^2)\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}\geq \sqrt{(3\sqrt[3]{(xyz)^2})^3}=3\sqrt{3}xyz$

 

$\Rightarrow \frac{(\sqrt{3}+1)xyz}{(x^2+y^2+z^2)\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\leq \frac{(\sqrt{3}+1)xyz}{3\sqrt{3}xyz}=\frac{\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{9}$