Chủ đề này có 1 trả lời

[mehinhhoc]

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) cố định  có BC cố định và A di động. Trung trực AB cắt AC tại E, trung trực AC cắt AB tại F. Chứng minh EF tiếp xúc 1 đường tròn cố định, đường tròn (AEF) tiếp xúc 2 đường tròn cố định

[huypham2811]

btoan xét trog T/hợp F nằm ngoài đoạn AB, E thuộc đoạn AC (các TH còn lại tương tự)

 

$\widehat{BFC}=\widehat{AEB}=180^{\circ}-2\widehat{A}=180^{\circ}-\widehat{BOC}$

 

suy ra B,C,E,F,O đồng viên.

 

Gọi (G) là đtròn (OBC) => (G) cố định

 

Hạ $GM\perp EF \Rightarrow \frac{GM}{GE}=cos\frac{1}{2}\widehat{EGF}=cos\widehat{A}$  (*)

 

=> GM ko đổi.

 

Vậy EF t/xúc với (G,GM) cố định.

 

Gọi (J) là đtròn (AEF).  =>  $JG\perp EF$ 

 

lại có : $\widehat{EJF}=2\widehat{A}=\widehat{EGF}$     suy ra J và G đ/x nhau qua EF  (**)

 

$JG\cap (J)= {S,T}$  (S,G cùng phía đ/v EF)

 

(**) => JG ko đổi và JS=JT= R_(G) ko đổi

 

=> GS và GT ko đổi.

 

Vậy (J) luôn t/xúc với (G,GS) và (G,GT) cố định.

 

P/s: nếu tính toán cụ thể có thể thấy (G,GS) và (G,GT) cũng t/xúc với (O).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huypham2811: 13-09-2015 - 16:25