Cho tam giác ABC nội tiếp (O) cố định có BC cố định và A di động. Trung trực AB cắt AC tại E, trung trực AC cắt AB tại F. Chứng minh EF tiếp xúc 1 đường tròn cố định, đường tròn (AEF) tiếp xúc 2 đường tròn cố định
EF tiếp xúc 1 đường tròn cố định, đường tròn (AEF) tiếp xúc 2 đường tròn cố định
#1
Đã gửi 13-09-2015 - 11:01
#2
Đã gửi 13-09-2015 - 16:16
btoan xét trog T/hợp F nằm ngoài đoạn AB, E thuộc đoạn AC (các TH còn lại tương tự)
$\widehat{BFC}=\widehat{AEB}=180^{\circ}-2\widehat{A}=180^{\circ}-\widehat{BOC}$
suy ra B,C,E,F,O đồng viên.
Gọi (G) là đtròn (OBC) => (G) cố định
Hạ $GM\perp EF \Rightarrow \frac{GM}{GE}=cos\frac{1}{2}\widehat{EGF}=cos\widehat{A}$ (*)
=> GM ko đổi.
Vậy EF t/xúc với (G,GM) cố định.
Gọi (J) là đtròn (AEF). => $JG\perp EF$
lại có : $\widehat{EJF}=2\widehat{A}=\widehat{EGF}$ suy ra J và G đ/x nhau qua EF (**)
$JG\cap (J)= {S,T}$ (S,G cùng phía đ/v EF)
(**) => JG ko đổi và JS=JT= R(G) ko đổi
=> GS và GT ko đổi.
Vậy (J) luôn t/xúc với (G,GS) và (G,GT) cố định.
P/s: nếu tính toán cụ thể có thể thấy (G,GS) và (G,GT) cũng t/xúc với (O).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huypham2811: 13-09-2015 - 16:25
- Belphegor Varia và mehinhhoc thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh