Chủ đề này có 1 trả lời

[duongluan1998]

Cho 3 số thực x,y,z khác 0 và thỏa mãn : x+y+z=5 và xyz=1 

Tìm giá trị lớn nhất của 

P=$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

[E. Galois]

Sửa đề chút để làm cho dễ.

 

Cho 3 số thực x,y,z khác 0 và thỏa mãn : x+y+z=5 và xyz=4 

Tìm giá trị lớn nhất của 

P=$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

 

Ta có:

$$P = \dfrac{xy+yz+zx}{xyz} =\dfrac{xy+yz+zx}{4} $$

Đặt $m=xy+yz+zx$. Khi đó, $x,y,z$ là các nghiệm của phương trình:

$$x^3-5x^2+mx-4=0 \quad \quad \quad (1)$$

Bài toán trở thành tìm điều kiện của $m$ để phương trình $(1)$ có 3 nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

 

Vì $x \neq 0$ nên ta có: 

$$(1) \Leftrightarrow m = \frac{-x^3+5x^2+4}{x}$$

Xét hàm số $f(x)= \frac{-x^3+5x^2+4}{x}$ trên $\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$. Ta có:

$$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2 \\ x = x_1 < 0 \\x=x_2 \in (0;2)   \end{array} \right.$$

Lập bảng biến thiên của hàm số $f(x)$. 

 

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra $m \leq f(2) = 8$

Vậy $\max P = 4 $. Dấu "$=$" xảy ra tại $(2;2;1) $ và các hoán vị.