Chủ đề này có 3 trả lời

[mnguyen99]

Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) nội tiếp tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. P là 1 điểm bất kì sao cho PA, PB, PC cắt (I) lần lượt tại X, Y, Z. CM DX, EY, FZ đồng quy.

[Belphegor Varia]

Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) nội tiếp tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. P là 1 điểm bất kì sao cho PA, PB, PC cắt (I) lần lượt tại X, Y, Z. CM DX, EY, FZ đồng quy.

 

Lời giải 

                                                         

 

Gọi $M,N,Q$ lần lượt là giao điểm thứ 2 của $PA,PB,PC$ với $(I)$. $R,S,T$ lần lượt là giao của $PA,PB,PC$ với $EF,FD,DE$

Ta có các tứ giác $FXEM,DYFN,EZDQ$ điều hòa

$\Rightarrow \frac{FX}{EX}=\frac{FR^2}{RE^2} ,\frac{DY}{FY}=\frac{DS^2}{FS^2} ,\frac{EZ}{DZ}=\frac{ET^2}{DT^2}$ 

 

$DX,EY,FZ$ đồng quy 

$\Leftrightarrow \frac{\sin \angle FDX}{\sin \angle EDX}.\frac{\sin \angle DEY }{\sin \angle FEY }.\frac{\sin \angle EFZ}{\sin \angle DFZ}=1$

 

$\Leftrightarrow \frac{\sin \angle FEX}{\sin \angle EFX}.\frac{\sin \angle DFY}{\sin \angle FDY}.\frac{\sin \angle EDZ}{\sin \angle DEZ}=1$

 

$\Leftrightarrow \frac{FX}{EX}.\frac{DY}{FY}.\frac{EZ}{DZ}=1$

 

$\Leftrightarrow \frac{FR^2}{RE^2}.\frac{DS^2}{FS^2}.\frac{ET^2}{DT^2}=1$

 

$\Leftrightarrow \frac{FR}{RE}.\frac{DS}{FS}.\frac{ET}{DT}=1$

 

$\Leftrightarrow DR,FT,ES $ đồng quy $(1)$

 

-Vậy ta đưa bài toán cần chứng minh về bài toán : Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$. $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ với $BC,CA,AB$. Lấy điểm $H$ bất kì, $HA,HB,HC$ cắt $EF,FD,DE$ lần lượt tại $R,S,T$. Chứng minh $DR,ES,FT$ đồng quy 

                                                                    

                                             

Chứng minh : 

Ta có $\frac{FR}{ER}=\frac{S_{AFR}}{S_{AER}}=\frac{AF.AR.\sin \angle FAR}{AE.AR.\sin \angle EAR}=\frac{\sin \angle FAR}{\sin \angle EAR}$

Tương tự : $\frac{SF}{SD}=\frac{\sin \angle FBS}{\sin \angle DBS}, \frac{TD}{TE}=\frac{\sin \angle TCD}{\sin \angle TCE}$

$DR,FT,ES$ đồng quy 

$\Leftrightarrow \frac{RF}{RE}.\frac{SD}{SF}.\frac{TE}{TD}=1\Leftrightarrow \frac{\sin \angle FAR}{\sin \angle EAR}.\frac{\sin \angle DBS}{\sin \angle DBS}.\frac{\sin \angle TCE}{\sin \angle TCD}=1$

$\Leftrightarrow AR,BS,CT$ đồng quy (đúng)

 

Vậy $(1)$ được chứng minh $\Rightarrow Q.E.D$

[dangkhuong]

 

Lời giải 

                                                         

 

Gọi $M,N,Q$ lần lượt là giao điểm thứ 2 của $PA,PB,PC$ với $(I)$. $R,S,T$ lần lượt là giao của $PA,PB,PC$ với $EF,FD,DE$

Ta có các tứ giác $FXEM,DYFN,EZDQ$ điều hòa

$\Rightarrow \frac{FX}{EX}=\frac{FR^2}{RE^2} ,\frac{DY}{FY}=\frac{DS^2}{FS^2} ,\frac{EZ}{DZ}=\frac{ET^2}{DT^2}$ 

 

$DX,EY,FZ$ đồng quy 

$\Leftrightarrow \frac{\sin \angle FDX}{\sin \angle EDX}.\frac{\sin \angle DEY }{\sin \angle FEY }.\frac{\sin \angle EFZ}{\sin \angle DFZ}=1$

 

$\Leftrightarrow \frac{\sin \angle FEX}{\sin \angle EFX}.\frac{\sin \angle DFY}{\sin \angle FDY}.\frac{\sin \angle EDZ}{\sin \angle DEZ}=1$

 

$\Leftrightarrow \frac{FX}{EX}.\frac{DY}{FY}.\frac{EZ}{DZ}=1$

 

$\Leftrightarrow \frac{FR^2}{RE^2}.\frac{DS^2}{FS^2}.\frac{ET^2}{DT^2}=1$

 

$\Leftrightarrow \frac{FR}{RE}.\frac{DS}{FS}.\frac{ET}{DT}=1$

 

$\Leftrightarrow DR,FT,ES $ đồng quy $(1)$

 

-Vậy ta đưa bài toán cần chứng minh về bài toán : Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$. $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ với $BC,CA,AB$. Lấy điểm $H$ bất kì, $HA,HB,HC$ cắt $EF,FD,DE$ lần lượt tại $R,S,T$. Chứng minh $DR,ES,FT$ đồng quy 

                                                                    

                                             

Chứng minh : 

Ta có $\frac{FR}{ER}=\frac{S_{AFR}}{S_{AER}}=\frac{AF.AR.\sin \angle FAR}{AE.AR.\sin \angle EAR}=\frac{\sin \angle FAR}{\sin \angle EAR}$

Tương tự : $\frac{SF}{SD}=\frac{\sin \angle FBS}{\sin \angle DBS}, \frac{TD}{TE}=\frac{\sin \angle TCD}{\sin \angle TCE}$

$DR,FT,ES$ đồng quy 

$\Leftrightarrow \frac{RF}{RE}.\frac{SD}{SF}.\frac{TE}{TD}=1\Leftrightarrow \frac{\sin \angle FAR}{\sin \angle EAR}.\frac{\sin \angle DBS}{\sin \angle DBS}.\frac{\sin \angle TCE}{\sin \angle TCD}=1$

$\Leftrightarrow AR,BS,CT$ đồng quy (đúng)

 

Vậy $(1)$ được chứng minh $\Rightarrow Q.E.D$

 

Bài này có thể solve bằng hàng điểm điều hoà. Chú ý bổ đề sau: Cho tam giác $ABC$ có $D,E$ nằm trên $BC$: $(BDCE)-1$.$AE,AD$ giao $(ABC)$ tại M,N khi đó BCMN là tứ giác điều hoà

[dogsteven]

Bài này chính là định lý Steinbart.