Chủ đề này có 3 trả lời

[mnguyen99]

Cho đường tròn (O) đường kính AB. C là 1 điểm nằm trên AB và ở ngoài (O). Kẻ cát tuyến CDE. OF là đường kính của tam giác ngoại tiếp BOD có tâm là $O_{1}$. Đường thẳng CF cắt lại $(O_{1})$ tại G. CM O, A, E, G cùng thuộc một đường tròn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mnguyen99: 23-09-2015 - 15:45

[Dung Du Duong]

Cho đường tròn (O) đường kính AB. C là 1 điểm nằm trên AB và ở ngoài (O). Kẻ cát tuyến CDE. Ò là đường kính của tam giác ngoại tiếp BOD có tâm là $O_{1}$. Đường thẳng CF cắt lại $(O_{1})$ tại G. CM O, A, E, G cùng thuộc một đường tròn.

đây là OF pk bạn ??

[Belphegor Varia]

Cho đường tròn (O) đường kính AB. C là 1 điểm nằm trên AB và ở ngoài (O). Kẻ cát tuyến CDE. OF là đường kính của tam giác ngoại tiếp BOD có tâm là $O_{1}$. Đường thẳng CF cắt lại $(O_{1})$ tại G. CM O, A, E, G cùng thuộc một đường tròn.

                                              

 

Cần chứng minh $BD,AE,OG$ đồng quy để sử dụng phương tích.

Lời giải : 

Trước hết ta phát biểu bổ đề : 

Bổ đề : Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, cát tuyến $CDE$. Gọi $AE \cap BD \equiv H$, $AD\cap BE \equiv I$. Khi đó $H$ là trực tâm tam giác $COI$. 

Trở lại bài toán. 

Gọi $AD\cap CG \equiv I$. Dễ thấy $BF$ là tiếp tuyến của $(O)$. 

Ta có : $ \angle CGD=\angle DBF=\angle DAB$

$\Rightarrow CADG$ nội tiếp.

Xét tứ giác $GDEI$ có $\angle DGI=180^0-\angle DBF=180^0-\angle DAB =\angle DEB$

$\Rightarrow GDEI$ nội tiếp $\Rightarrow \angle GDI=\angle GEI$

Xét tứ giác $CGEB$ có $\angle BDG=\angle GDI=\angle GEI$

Suy ra $CGEB$ nội tiếp $\Rightarrow IG.IC=IE.IB$

Suy ra $I$ nằm trên trục đẳng phương của $(CADG)$ và $(BADE)$

Suy ra $A,D,I$ thẳng hàng 

 

Gọi $AE\cap BD \equiv H$ 

Theo Bổ đề ta có $H$ là trực tâm tam giác $COI$ , mà $OG$ vuông góc với $CI$ nên $O,G,H$ thẳng hàng 

Ta có $OH.OG=OB.OD=OA.OE$

Suy ra $AGEO$ nội tiếp $(Q.E.D)$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 24-09-2015 - 21:46

[Duong Nhi]

 

                                              

 

Cần chứng minh $BD,AE,OG$ đồng quy để sử dụng phương tích.

Lời giải : 

Trước hết ta phát biểu bổ đề : 

Bổ đề : Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, cát tuyến $CDE$. Gọi $AE \cap BD \equiv H$, $AD\cap BE \equiv I$. Khi đó $H$ là trực tâm tam giác $COI$. 

Trở lại bài toán. 

Gọi $AD\cap CG \equiv I$. Dễ thấy $BF$ là tiếp tuyến của $(O)$. 

Ta có : $ \angle CGD=\angle DBF=\angle DAB$

$\Rightarrow CADG$ nội tiếp.

Xét tứ giác $GDEI$ có $\angle DGI=180^0-\angle DBF=180^0-\angle DAB =\angle DEB$

$\Rightarrow GDEI$ nội tiếp $\Rightarrow \angle GDI=\angle GEI$

Xét tứ giác $CGEB$ có $\angle BDG=\angle GDI=\angle GEI$

Suy ra $CGEB$ nội tiếp $\Rightarrow IG.IC=IE.IB$

Suy ra $I$ nằm trên trục đẳng phương của $(CADG)$ và $(BADE)$

Suy ra $A,D,I$ thẳng hàng 

 

Gọi $AE\cap BD \equiv H$ 

Theo Bổ đề ta có $H$ là trực tâm tam giác $COI$ , mà $OG$ vuông góc với $CI$ nên $O,G,H$ thẳng hàng 

Ta có $OH.OG=OB.OD=OA.OE$

Suy ra $AGEO$ nội tiếp $(Q.E.D)$ 

 

Cách khác ạ )

https://fbcdn-sphoto...17351997_n.jpg?oh=99e1d8f43ed55f95bea7d628333af1ab&oe=56072618&__gda__=1443304138_017f6699f0aac589d744db37f09b920c

Dễ thấy Q là trực tâm tam giác JBC => JV vuông góc với BC => tứ giác DVQI nội tiếp ( bạn đọc tự chứng minh)

Dễ thấy tứ giác BFQV và BFID nội tiếp => QV, BF, DI đồng quy.(*)

Chứng minh tương tự có CE, BF, QV đồng quy(**). từ (*) và (**) => CE, BF, QV, DI đồng quy tại J.

ð  Tứ giác DCEI nội tiếp => góc DCE= góc EIJ (1).

Ta có: tứ giác DIFB nội tiếp => góc DIB = góc DFB. Tứ giác BFEC nội tiếp => góc DFB = góc BCE

ð  Góc DIB = góc BCE (2). Từ (1) và (2) => góc DIB = góc EIJ= góc BCE

Xét tứ giác BIAE có: góc BIE = 180^o – 2. Góc BID = 180^o – 2.góc BCE = góc CAE => góc BIE + góc BAE = 180^o  => ĐPCM.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duong Nhi: 24-09-2015 - 23:32