Bất đẳng thức và cực trị:
Bài 1: Cho biểu thức $P = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + ac + bd$ trong đó ad - bc = 1. CMR: $P \geq \sqrt{3}$
Bài 2: Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có 3 góc nhọn. CMR với mọi số thực x, y, z ta luôn có:
$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} > \frac{2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn hệ thức a + b + c = 6abc. CMR: $\frac{bc}{a^{3}(c + 2b)} + \frac{ca}{b^{3}(a + 2c)} + \frac{ab}{c^{3}(b + 2a)} \geq 2$
Bài 4: Cho a, b, c là các số dương và có tổng bằng 1. CMR:
$\frac{19b^{3} - a^{3}}{ba + 5b^{2}} + \frac{19c^{3} - b^{3}}{cb + 5c^{2}} + \frac{19a^{3} - c^{3}}{ac + 5a^{2}} \leq 3$
Bài 5: Chứng minh rằng nếu a > b > c thì $\frac{2a^{2}}{a - b} + \frac{b^{2}}{b - c} > 2a + 3b + c$.
Bài 6: CMR: $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} + \frac{1}{2\sqrt[3]{abc}} \geq \frac{(a + b + c + \sqrt[3]{abc})^{2}}{(a + b)(b + c)(c + a)}$ với mọi a, b, c >0.
Bài 7: Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c =3. CMR: $a^{4} + b^{4} + c^{4} \geq a^{3} + b^{3} + c^{3}$.
Bài 8: Cho các số thực dương a, b, c. CMR:
$\sqrt{c^{2}(a^{2} + b^{2})^{2} + a^{2}(b^{2} + c^{2})^{2} + b^{2}(c^{2} + a^{2})^{2}} \geq \frac{54(abc)^{3}}{(a + b + c)^{2}\sqrt{(ab)^{4} + (bc)^{4} + (ca)^{4}}}$.
Bài 9: Cho 3 số dương a, b, c với abc = 1. Tìm max của biểu thức: $M = \frac{1}{a^{2} + 2b^{2} + 3} + \frac{1}{b^{2} + 2c^{2} + 3} + \frac{1}{c^{2} + 2a^{2} + 3}$.
Bài 10: Cho 3 số x, y, z thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x , y , z \in \left [ -1 ; 3 \right ] & & \\ x + y + z = 3 & & \end{matrix}\right.$ CMR: $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 11$
Bài 11: Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm max của: $P = \sqrt{\frac{ab}{c + ab}} + \sqrt{\frac{bc}{a + bc}} + \sqrt{\frac{ca}{b + ca}}$
Bài 12: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} a \geq 0 & & & & \\ b \geq 0 & & & & \\ a + 2b - 4c + 2 = 0 & & & & \\ 2a - b + 7c - 11 = 0 & & & & \end{matrix}\right.$ Tìm max, min của Q = 6a + 7b + 2006c.
Bài 13: Với 0 < a, b, c < 1/2, thỏa mãn a + 2b + 3c = 2. CM: $\frac{1}{a(4b + 6c - 3)} + \frac{2}{b(3c + a - 1)} + \frac{9}{c(2a + 4b - 1)} \geq 54$.
Bài 14: Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn đk abc = 1. CM: $\frac{2}{a^{3}(b + c)} + \frac{2}{b^{3}(c + a)} + \frac{2}{c^{3}(a + b)} \geq 3.$
Bài 15: Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn đk: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 4$. CM:
$\sqrt[3]{\frac{a^{3} + b^{3}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{b^{3} + c^{3}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{c^{3} + d^{3}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{d^{3} + a^{3}}{2}} \leq 2(a + b + c + d) - 4$
Bài 16: CMR nếu a,b,c là các số thực dương thì:
$\frac{1}{3}(\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{b}) \geq \sqrt{\frac{a^{4} + b^{4} + c^{4}}{3}}$
Bài 17: CMR nếu a,b,c>0 thì:
$\frac{(a + b + c)^{2}}{ab + bc + ca} \geq \frac{a + b}{a + c} + \frac{b + c}{b + a} + \frac{c + a}{c + b}$
Bài 18: CMR nếu a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thì:
$\frac{1}{3}(\frac{b + c}{a^{2} + bc} + \frac{c + a}{b^{2} + ca} + \frac{a + b}{c^{2} + ab}) \leq \frac{a + b + c}{ab + bc + ca}$
Bài 19: CMR a,b,c >0 thì: $\frac{a^{3} + abc}{b + c} + \frac{b^{3} + abc}{c + a} + \frac{c^{3} + abc}{c + a} \geq a^{2} + b^{2} + c^{2}$
Bài 20: Cm với mọi số dương a, b, c, d thỏa mãn dk a +b + c+ d = 4 thì $\frac{a}{1 + b^{2}c} + \frac{b}{1 + c^{2}d} + \frac{c}{1 + d^{2}a} + \frac{d}{1 + a^{2}b} \geq 2.$
Trên đây là một số bài bất đẳng thức mik sưu tầm được từ các đề thi học sinh giỏi và ở đâu đâu...mik cũng ko biết nữa 
, rất mong mọi người vào xem và có thể bổ sung cách giải để 20 bài trên sớm dc hoàn thành.
Kanh thiu ko ai múc. 
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haichau0401: 01-10-2015 - 18:04
