Chủ đề này có 10 trả lời

[Katyusha]

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh

 

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\sqrt{\dfrac{a}{2b+2c}}+\sqrt{\dfrac{b}{2c+2a}}+\sqrt{\dfrac{c}{2a+2b}}\ge 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 07-10-2015 - 21:11

[babylearnmathmv]

chuẩn hóa a+b+c=1 rồi chứng minh bằng dồn biến là ra bạn à

[babylearnmathmv]

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh

 

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\sqrt{\dfrac{a}{2b+2c}}+\sqrt{\dfrac{b}{2c+2a}}+\sqrt{\dfrac{c}{2a+2b}}\ge 3$

File gửi kèm

•  Giả sử.doc   29.5K   93 Số lần tải

[ineX]

Ta có a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) = sigma a^2/(ab+ac) >= (a+b+c)^2/2(ab+bc+ca)

Mà (a+b+c)^2 >= 3(ab+bc+ca)

suy ra a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >= 3/2

với sigma căn của  a/(2b+2c) = sigma a/ căn của (2ab+2ac) 

sau đó bạn dùng bđt AMGM đánh giá cái mẫu đó để ra biểu thức >=o  3/2

từ đó cọngo hai vế suy ra đpcm

[babylearnmathmv]

Ta có a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) = sigma a^2/(ab+ac) >= (a+b+c)^2/2(ab+bc+ca)

Mà (a+b+c)^2 >= 3(ab+bc+ca)

suy ra a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >= 3/2

với sigma căn của  a/(2b+2c) = sigma a/ căn của (2ab+2ac) 

sau đó bạn dùng bđt AMGM đánh giá cái mẫu đó để ra biểu thức >=o  3/2

từ đó cọngo hai vế suy ra đpcm

bạn j ơi đánh giá cây thứ 2 kiểu chi rứa

[vungocquanghuy2000]

:v

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vungocquanghuy2000: 07-10-2015 - 22:10

[ineX]

bđt thuần nhất nên chuẩn hóa đển dồn biến cũng ổn

[ineX]

bạn j ơi đánh giá cây thứ 2 kiểu chi rứa

chuẩn hóa, sau đó đánh giá bằng AMGM ý ạ

[longatk08]

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh

 

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\sqrt{\dfrac{a}{2b+2c}}+\sqrt{\dfrac{b}{2c+2a}}+\sqrt{\dfrac{c}{2a+2b}}\ge 3$

Bài này có thể giải bằng C-S. Cách khác dùng BĐT phụ sau:

 

$\sum \sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}}\geq 1+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

 

Sau đó đặt ẩn dùng $p,q,r$. BĐT sau cũng đúng:

 

$\sum \frac{a}{b+c}+\left(\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\right)^2\geq 6$

[longatk08]

 

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh

 

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\sqrt{\dfrac{a}{2b+2c}}+\sqrt{\dfrac{b}{2c+2a}}+\sqrt{\dfrac{c}{2a+2b}}\ge 3$

 

Theo bài của bạn ở đây thì tôi hiểu là bạn đang định chứng minh:

 

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}$

 

Nhưng BĐT trên không đúng, mà BĐT sau mới đúng:

 

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq 2$

[robot3d]

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh

 

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\sqrt{\dfrac{a}{2b+2c}}+\sqrt{\dfrac{b}{2c+2a}}+\sqrt{\dfrac{c}{2a+2b}}\ge 3$

thử cách này xem sao       

$a+b+c=3 => b+c=3-a => \frac{a}{b+c}=\frac{a}{3-a}\geq \frac{3}{4}a-\frac{3}{4}$

tương tự với 2 cái b,c , cộng vế theo vế được :$\sum \frac{a}{3-a}\geq \frac{3}{2}$ (1)

$2b+2c=6-2a=>\sqrt{\frac{a}{2b+2c}}=\sqrt{\frac{a}{6-2a}}\geq \frac{3}{8}a+\frac{1}{8}$

tương tự với b,c , cộng vế theo vế có : $\sum \sqrt{\frac{a}{6-2a}}\geq \frac{3}{2}$ (2)

cộng (1) với (2) ta có dpcm