5 replies to this topic

[pndpnd]

Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$. Tìm min:

$M=x^2y+y^2z+z^2x+\frac{1}{\sqrt[6]{x^3+y^3+z^3}}$

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$. Tìm min:

$M=x^2y+y^2z+z^2x+\frac{1}{\sqrt[6]{x^3+y^3+z^3}}$

 

Tổng quát. Cho $a,\,b,\,c$ là ba số thực dương có tích bằng $1$ và $0 \leqslant k \leqslant \frac{9\sqrt[3]{3}}{4}$ là một số thực cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[P = x^2y+y^2z+z^2x+\frac{k}{\sqrt[6]{x^3+y^3+z^3}}\]

Edited by Nguyenhuyen_AG, 11-10-2015 - 16:58.

[pndpnd]

Tổng quát. Cho $a,\,b,\,c$ là ba số thực dương và $0 \leqslant k \leqslant \frac{9\sqrt[3]{3}}{4}$ là một số thực cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[P = x^2y+y^2z+z^2x+\frac{k}{\sqrt[6]{x^3+y^3+z^3}}\]

Bạn có thể  nói cách giải giúp mình được không? Mình cảm ơn bạn.

[Nguyenhuyen_AG]

Bạn có thể  nói cách giải giúp mình được không? Mình cảm ơn bạn.

 

Sử dụng đánh giá \[(x+y+z)^3 \geqslant \frac{27}{4}(a^2b+b^2c+c^2a+abc).\]

[pndpnd]

Sử dụng đánh giá \[(x+y+z)^3 \geqslant \frac{27}{4}(a^2b+b^2c+c^2a+abc).\]

Đây là bài toán tìm MIN mà bạn. Nếu sử dụng đánh giá như bạn thì sẽ là tìm MAX bạn ạ. 

[Nguyenhuyen_AG]

Đây là bài toán tìm MIN mà bạn. Nếu sử dụng đánh giá như bạn thì sẽ là tìm MAX bạn ạ. 

 

Văn ôn, võ luyện ... em phải đặt bút làm thử thì mới tìm được lời giải chứ, gợi ý của anh và bài toán của em lúc này nó vẫn chưa hề ăn nhập gì với nhau vì anh gợi ý là một bất đẳng thức thuần nhất, còn bài toán của em là tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức không thuần nhất nên ít nhất em phải đưa cả hai về cùng dạng thì mới có thể kết luận được. Với lại anh gợi ý tức là anh đã giải bài này bằng con đường đấy rồi chứ đâu phải chém gió, tào lao bí đao.

 

Đặt $x=\sqrt[3]{\frac{bc}{a^2}},\,y=\sqrt[3]{\frac{ca}{b^2}},\,z=\sqrt[3]{\frac{ab}{c^2}}$ khi đó biểu thức $M$ được viết dưới lại thuần nhất như sau \[M = \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + k\sqrt[6]{\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}}.\] Áp dụng đánh giá \[(x+y+z)^3 \geqslant \frac{27}{4}(x^2y+y^2z+z^2x+xyz),\] ta được \[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geqslant \sqrt[3]{\frac{27}{4}\left ( \frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+1 \right )}.\] Do đó \[M \geqslant \sqrt[3]{\frac{27}{4}\left ( \frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+1 \right )} + k\sqrt[6]{\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}}.\] Đặt $t  =\sqrt[6]{\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}} \geqslant \sqrt[6]{3},$ thì $t^6 = \frac{a^3+b^3+c^3}{abc},$ lúc này \[M \geqslant \sqrt[3]{\frac{27}{4}\left(t^6+1\right)} + \frac{k}{t}.\] Bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \sqrt[3]{\frac{27}{4}\left(t^6+1\right)} + \frac{k}{t},\] với điều kiện $t \geqslant \sqrt[6]{3}.$ Phần còn lại em tự giải quyết nhé.

Edited by Nguyenhuyen_AG, 11-10-2015 - 22:54.