Đề thi ngày thứ nhất:
Thời gian: 180 phút.
Bài 1 (5 điểm).
Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
$\left (\frac{a+b+c}{3} \right )^3 \geq \left (\frac{ab+bc+ca}{3} \right )\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$.
Bài 2 (5 điểm).
Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi:
$u_1 \epsilon (0;1)$, $u_n= \frac{1}{3}\left (u_{n-1}+\sqrt{3u_{n-1}^2+1} \right )$, $\forall n \geq 2$.
Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
Bài 3 (5 điểm).
Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm $O$. Điểm $M$ thuộc cung $BC$ (không chứa $A$). Gọi $D$, $H$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên các đường thẳng $AC$, $AB$. Xác định điểm $M$ để độ dài $DH$ lớn nhất.
Bài 4 (5 điểm).
Cho $P_0(x)$, $P_1(x)$, ..., $P_9(x)$ là các đa thức thỏa mãn:
$P_0(x^{10})+xP_1(x^{10})+...+x^8P_8(x^{10})=(x^9+x^8+...+x+1)P_9(x)$, $\forall x \epsilon R$.
Chứng minh $P_k(1)=0$ với $k=\overline{1,9}$.
_______________________________________________________________________________
Đề thi ngày thứ hai:
Thời gian: 180 phút.
Bài 5 (6 điểm).
Tìm tất cả các hàm số $f:R \rightarrow R$ thỏa mãn:
$f(x-f(y))=1-x-y$, $\forall x,y \epsilon R$.
Bài 6 (7 điểm).
Chứng minh rằng phương trình $(4x-1)(4y-1)=4z^2+1$ không có nghiệm nguyên dương nhưng có vô số nghiệm nguyên.
Bài 7 (7 điểm).
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, đường cao $AH$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$ tại điểm $D$. Đường tròn đường kính $AI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $M$ và cắt đường thẳng $AH$ tại điểm $N$ ($M$, $N$ khác $A$).
a) Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ đi qua trung điểm $T$ của cung $BC$ (không chứa $A$).
b) Chứng minh rằng ba điểm $M$, $N$, $D$ thẳng hàng.
_______________________________________________________________________________
Đề này cũng tạm được, mình làm được khoảng 30 điểm nếu không sai sót.
