Chủ đề này có 1 trả lời

[macqueen]

CMR: $\frac{1}{n+1}< ln(1+\frac{1}{n})$

hình như chưa chặt chẽ lắm.

[on5minh]

Xét hàm $f(x) = x + ln(1-x)$ với $x \in$ [0, 1). Ta có $f'(x) = -\frac {x}{1-x} \le 0$ trong [0, 1) nên hàm $f(x)$ đơn điệu giảm trong [0, 1).

Vì $f(0) = 0$ và $f(x)$ đơn điệu giảm trong [0, 1) nên $f(x) < 0$   $\forall  x \in (0, 1)$.

$\forall n \ge1, \frac {1}{n + 1} \in (0, 1)$ nên $f(\frac {1}{n + 1}) < 0$

$\Leftrightarrow \frac {1}{n + 1} + ln(1-\frac {1}{n + 1}) < 0 \Leftrightarrow \frac {1}{n + 1} + ln(\frac {n}{n + 1}) < 0$

$\Leftrightarrow \frac {1}{n + 1} - ln(\frac {n + 1}{n}) < 0 \Leftrightarrow \frac {1}{n + 1} < ln(1 + \frac {1}{n})$ (đpcm)