Chủ đề này có 1 trả lời

[Kaitou Kid 1412]

Cho dãy số $x_n$:

$x_1$= $\sqrt{2}$ ; $ x_{n+1}$= $\sqrt{2+x_n}$

Chứng minh dãy hội tụ và tìm giới hạn của dãy số.

[ttlinhtinh]

 

Cho dãy số $x_n$:

$x_1$= $\sqrt{2}$ ; $ x_{n+1}$= $\sqrt{2+x_n}$

Chứng minh dãy hội tụ và tìm giới hạn của dãy số.

 

*) $x_{n} > 0$ với mọi $n$

*) $x_{n+1}-x_{n}=\sqrt{2+x_{n}}-\sqrt{2+x_{n-1}}=\frac{x_{n}-x_{n-1}}{\sqrt{2+x_{n}}+\sqrt{2+x_{n-1}}}$

Bằng quy nạp, dễ dàng chưngs minh $x_{n}$ là dãy tăng (1)

*) $x_{n}=\sqrt{2+\sqrt{2+...\sqrt{2+\sqrt{2}}}}<\sqrt{2+\sqrt{2+...\sqrt{2+\sqrt{4}}}}=2$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $x_{n}$ hội tụ.

*) Giả sử $\lim x_{n}=A$. Khi đó ta có: 

$A=\sqrt{2+A}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} A>0\\ A^2-A-2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (A+1)(A-2)=0\Leftrightarrow A=2$

 

Bài toán tổng quát: 

Cho dãy số: $x_{n}$ thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} x_{1}=\sqrt{a}\\ x_{n}=\sqrt{a+x_{n-1}} \end{matrix}\right.$

Chứng minh dãy đã cho tồn tại giới hạn và tính giới hạn đó?