Chủ đề này có 1 trả lời

[bestmather]

Cho x,y,z không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+xz}+\frac{z}{1+xy}$

[phamngochung9a]

Cho x,y,z không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+xz}+\frac{z}{1+xy}$

Ta có $(x+y+z)^{2}=1+2(xy+yz+zx)\geq 1\Rightarrow (x+y+z)\geq 1$

Và $(x+y+z)^{2}\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})=3\Rightarrow (x+y+z)\leq \sqrt{3}< 3$

Vậy $1\leq (x+y+z)< 3$           $(1)$

$P=\sum \frac{x^{2}}{xyz+x}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{3xyz+x+y+z}$

Ta sẽ cm $P\geq 1$, tức là: $(x+y+z)^{2}-(x+y+z)-3xyz\geq 0$

$0\leq x,y,z\leq 1\Rightarrow (x-1)(y-1)(z-1)\leq 0\Leftrightarrow xyz\leq xy+yz+zx-x-y-z+1$$=\frac{1}{2}\left [ (x+y+z)^{2}-1 \right ]-(x+y+z)+1$

Vậy cần cm 

$(x+y+z)^{2}-(x+y+z)-3.\left \{ \frac{1}{2}\left [ (x+y+z)^{2}-1 \right ]-(x+y+z)+1 \right \}\geq 0\Leftrightarrow \left [ 1-(x+y+z) \right ]\left [ (x+y+z)-3 \right ]\geq 0$

đúng theo $(1)$

$\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 26-01-2017 - 22:43