Chủ đề này có 2 trả lời

[bestmather]

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn $x+y+z=xyz$ và $x>1, y>1, z>1$. Tìm GTNN của 

$P=\frac{x-1}{y^2}+\frac{y-1}{z^2}+\frac{z-1}{x^2}$

[longatk08]

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn $x+y+z=xyz$ và $x>1, y>1, z>1$. Tìm GTNN của 

$P=\frac{x-1}{y^2}+\frac{y-1}{z^2}+\frac{z-1}{x^2}$

Sau khi đổi biến thì ta sẽ đi chứng minh rằng với $a,b,c$ thực dương thỏa $ab+bc+ac=1$ thì ta có:

 

$$P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-a^2-b^2-c^2\geq \sqrt{3}-1$$

 

Hãy chứng minh BĐT sau:

 

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{ab+bc+ac}$$

[hoctrocuaHolmes]

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn $x+y+z=xyz$ và $x>1, y>1, z>1$. Tìm GTNN của 

$P=\frac{x-1}{y^2}+\frac{y-1}{z^2}+\frac{z-1}{x^2}$

Từ gt suy ra $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$

$P= \sum \frac{x-1}{y^2}=\sum \frac{(x-1)+(y-1)}{y^2}-\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}=\sum (x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})-\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}\geq \sum (x-1).\frac{2}{xy}-\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}=\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{x^2}-2$

Lại có:$\sum \frac{1}{x^2}\geq \sum \frac{1}{xy}=1$

$(\sum \frac{1}{x})^2\geq 3\sum \frac{1}{xy}=3\Rightarrow \sum \frac{1}{x}\geq \sqrt{3}$

$\rightarrow P\geq 1+\sqrt{3}-2=\sqrt{3}-1$